FOLIE-metod

FOLIE-metod
	En visuell representation av FOIL-regeln. Varje färgad linje representerar två termer som måste multipliceras.
Typ	Metod
Fält	Elementär algebra , elementär aritmetik
Påstående	En teknik för att multiplicera två binomialer i ett algebraiskt uttryck med hjälp av distributiv lag .
Först angavs av	William Betz
Angavs först i	1929 ; 94 år sedan

I gymnasieskolan är FOIL ett minnesmärke för standardmetoden för att multiplicera två binomialer - därav kan metoden kallas FOIL-metoden . Ordet FOIL är en akronym för produktens fyra termer:

Först ("första" termer av varje binomial multipliceras med varandra)
Ytter ("utanför" termer multipliceras — det vill säga den första termen i den första binomialen och den andra termen i den andra)
I nner ("insidan" termer multipliceras – andra termen i den första binomialen och första termen i den andra)
L ast ("sista" termer för varje binomial multipliceras)

Den allmänna formen är

(a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\ text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.

Observera att $a$ är både en "första" term och en "yttre" term; $b$ är både en "sista" och "inre" term, och så vidare. Ordningen på de fyra termerna i summan är inte viktig och behöver inte matcha bokstävernas ordning i ordet FOIL.

Historia

FOIL - metoden är ett specialfall av en mer generell metod för att multiplicera algebraiska uttryck med hjälp av den distributiva lagen . Ordet FOIL var ursprungligen endast avsett som ett minnesmärke för gymnasieelever som lär sig algebra. Termen förekommer i William Betzs text Algebra for Today från 1929 , där han säger:

... första termer, yttre termer, inre termer, sista termer. (Regeln som anges ovan kan också komma ihåg av ordet FOIL, antydt av de första bokstäverna i orden först, yttre, inre, sist.)

William Betz var aktiv i rörelsen för att reformera matematiken i USA vid den tiden, hade skrivit många texter om elementära matematikämnen och hade "ägnat sitt liv åt att förbättra matematikundervisningen".

Många studenter och pedagoger i USA använder nu ordet "FOIL" som ett verb som betyder "att utöka produkten av två binomialer".

Exempel

Metoden används oftast för att multiplicera linjära binomer. Till exempel,

{ \begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+ 15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}

Om endera binomialen involverar subtraktion måste motsvarande termer negeras . Till exempel,

{\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x )(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12 .\end{aligned}}

Fördelningslagen

FOIL-metoden är likvärdig med en tvåstegsprocess som involverar den distribuerande lagen:

{\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned }}

I det första steget fördelas ( $c + d ) över additionen i första binomial.$ I det andra steget används den fördelande lagen för att förenkla var och en av de två termerna. Observera att denna process omfattar totalt tre tillämpningar av den fördelande egenskapen. Till skillnad från FOIL-metoden kan metoden som använder distribution lätt appliceras på produkter med fler termer som trinomial och högre.

Omvänd FOLIE

FOIL-regeln omvandlar en produkt av två binomialer till en summa av fyra (eller färre, om liknande termer sedan kombineras) monomialer . Den omvända processen kallas factoring eller faktorisering . I synnerhet om beviset ovan läses omvänt illustrerar det tekniken som kallas factoring by grouping .

Bord som alternativ till FOLIE

Ett visuellt minnesverktyg kan ersätta FOIL-mnemoniken för ett par polynom med valfritt antal termer. Gör en tabell med termerna för det första polynomet på vänsterkanten och termerna för det andra på överkanten, fyll sedan i tabellen med multiplikationsprodukter. Tabellen som motsvarar FOIL-regeln ser ut så här:

{\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}

I fallet att dessa är polynom, $(ax + b)(cx + d)$ , hittas termerna för en given grad genom att addera längs antidiagonalerna :

{\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\ slut{array}}

så $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

För att multiplicera $(a + b + c)(w + x + y + z)$ , skulle tabellen vara som följer:

\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\ \\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}

Summan av tabellposterna är produkten av polynomen. Således:

{\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\ \&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}

På liknande sätt, för att multiplicera $(ax 2 + bx + c)(dx 3 + ex 2 + fx + g)$ , skriver man samma tabell:

\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\ \\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}

och summerar längs antidiagonaler:

{\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae +bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}

Generaliseringar

FOIL-regeln kan inte tillämpas direkt på expanderande produkter med fler än två multiplikander eller multiplikander med fler än två summeringar. Genom att tillämpa den associativa lagen och rekursiv foliering kan man dock utöka sådana produkter. Till exempel:

{\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+( z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d) (z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}

Alternativa metoder baserade på distribution avstår från användningen av FOIL-regeln, men kan vara lättare att komma ihåg och tillämpa. Till exempel:

{\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\ &=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d) ))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+ y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d( x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\ end{aligned}}

Se även

Vidare läsning

Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Schaums översikt över teori och problem för intermediär algebra . Schaums Outline-serie. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-060839-9 .