Första stellationen av den rombiska dodekaedern

Escher är solid. Den här bilden visar inte stellationen, eftersom olika synliga delar av en enda sexkantig yta av stellationen har olika färger. Färgen överensstämmer dock med en skildring av den polyedriska sammansättningen av tre tillplattade oktaedrar.

STL-modell av den första stellationen av den rombiska dodekaedern sönderdelad i 12 pyramider och 4 halvkuber

Eschers fasta kropp är topologiskt likvärdig med disdyakis dodecahedron , en katalansk fast substans , som kan ses som en rombisk dodecahedron med kortare rombiska pyramider försedd med varje ansikte.

Inom geometri är den första stellationen av den rombiska dodekaedern en självkorsande polyeder med 12 ytor, som var och en är en icke-konvex hexagon. Det är en stellation av den rombiska dodekaedern och har samma yttre skal och samma visuella utseende som två andra former: en solid, Eschers solid , med 48 triangulära ytor, och en polyedrisk sammansättning av tre tillplattade oktaedrar med 24 överlappande triangulära ytor.

Eschers fasta kropp kan tessellate utrymme för att bilda den stjärnformade rombiska dodekaedriska honungskakan .

Stellation, fast och sammansatt

Den första stjärnbilden av den rombiska dodekaedern har 12 ansikten, som var och en är en icke-konvex hexagon. Det är en stellation av den rombiska dodekaedern , vilket betyder att vart och ett av dess ansikten ligger i samma plan som ett av rombiska ytorna på den rombiska dodekaedern, med varje ansikte som innehåller romben i samma plan, och att den har samma symmetri som den rombiska dodekaedern. Det är den första stellationen, vilket betyder att ingen annan självskärande polyeder med samma ytplan och samma symmetri har mindre ytor. Att förlänga sidorna utåt ännu längre i samma plan leder till ytterligare två stellationer, om sidorna måste vara enkla polygoner .

För polyedrar som endast bildas med användning av ytor i samma 12 plan och med samma symmetri, men med ytorna tillåtet att bli oenkla eller med flera ytor i ett enda plan, uppstår ytterligare möjligheter. I synnerhet, om man tar bort den inre romben från varje hexagonal yta av stellationen lämnar man fyra trianglar, och det resulterande systemet med 48 trianglar bildar en annan icke-konvex polyeder utan självskärningar som bildar gränsen för en solid form, ibland kallad Eschers solid. Denna form förekommer i MC Eschers verk Waterfall och i en studie för Stars (även om Stars själv har en annan form, sammansättningen av tre oktaedrar ). Eftersom stellationen och soliden har samma visuella utseende är det inte möjligt att avgöra vilken av de två Escher som avsåg att avbilda i Waterfall . I Study for Stars skildrar Escher polyedern i skelettform, och inkluderar kanter som är en del av skelettformen av Eschers fasta kropp men som inte är en del av stellationen. (I stellationen bildas dessa linjesegment av korsningar av ytor snarare än kanter.) En alternativ tolkning för samma skelettform är dock att den avbildar en tredje form med liknande utseende, den polyedriska sammansättningen av tre tillplattade oktaedrar med 24 överlappande triangulära ytor.

De 48 triangulära ytorna på det fasta ämnet är likbenta; om den längsta kanten på dessa trianglar är längden $s$ så är de andra två ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}s} , ytan$ på den fasta delen är $12{\sqrt {2}}s^{2}$ och volymen av den fasta delen är $4s^{3}$ .

Vertices, kanter och ytor

Hörnen av den första stellationen av den rombiska dodekaedern inkluderar de 12 hörnen av cuboctahedronen , tillsammans med åtta ytterligare hörn (grad-3 hörn av den rombiska dodekaedern). Eschers fasta kropp har ytterligare sex hörn, i mittpunkterna på kuboktaederns fyrkantiga ytor (grad-4 hörn av den rombiska dodekaedern). I den första stjärnbilden av den rombiska dodekaedern är dessa sex punkter inte hörn, utan är istället mittpunkterna för par av kanter som korsar sig i rät vinkel vid dessa punkter.

Den första stjärnbilden av den rombiska dodekaedern har 12 hexagonala ytor, 36 kanter och 20 hörn, vilket ger en Euler-karaktäristik på 20 − 36 + 12 = −4. Eschers fasta kropp har istället 48 triangulära ytor, 72 kanter och 26 hörn, vilket ger en Euler-karaktäristik på 26 − 72 + 48 = 2.

Tessellation

Eschers fasta kropp kan tessellate utrymmet i den stjärnformade rombiska dodekaedriska honungskakan . Sex fasta ämnen möts vid varje vertex. Denna bikaka är celltransitiv , kanttransitiv och vertextransitiv .

Tesselation av rymden med Eschers fasta ämnen

Yoshimoto Cube , ett dissektionspussel mellan en kub och två kopior av Eschers fasta kropp, är nära besläktat med denna tessellation.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "First stellation of rhombic dodecahedron" . MathWorld .
• George Hart, Stellations