Extra elementsats

Extra Element Theorem ( EET) är en analytisk teknik utvecklad av RD Middlebrook för att förenkla processen att härleda drivpunkts- och överföringsfunktioner för linjära elektroniska kretsar . Ungefär som Thévenins sats bryter extraelementsatsen ner ett komplicerat problem i flera enklare.

Körpunkts- och överföringsfunktioner kan i allmänhet hittas med hjälp av Kirchhoffs kretslagar . Men flera komplicerade ekvationer kan resultera som ger liten insikt i kretsens beteende. Med hjälp av extraelementsatsen kan ett kretselement (som ett motstånd ) tas bort från en krets och den önskade drivpunkten eller överföringsfunktionen hittas. Genom att ta bort det element som mest komplicerar kretsen (t.ex. ett element som skapar återkoppling ) kan den önskade funktionen bli lättare att få. Nästa två korrektionsfaktorer måste hittas och kombineras med den tidigare härledda funktionen för att hitta det exakta uttrycket.

Den allmänna formen av extraelementsatsen kallas N-extraelementsatsen och tillåter att flera kretselement tas bort samtidigt.

Allmän formulering

(single) extra element theorem uttrycker varje överföringsfunktion som en produkt av överföringsfunktionen med det elementet borttaget och en korrektionsfaktor. Korrektionsfaktortermen består av impedansen för det extra elementet och två drivpunktsimpedanser som ses av det extra elementet: Impedansen för dubbel nollinsprutning och drivpunktsimpedansen för enkelinsprutning. Eftersom ett extra element i allmänhet kan tas bort genom att antingen kortsluta eller öppna elementet, finns det två likvärdiga former av EET:

H(s)=H_{\infty }(s){\ frac {1+{\frac {Z_{n}(s)}{Z(s)}}}{1+{\frac {Z_{d}(s)}{Z(s)}}}}

eller,

H(s)=H_{0}(s){\frac {1+{\frac {Z(s)}{Z_{n}(s)}}}{1+{\frac {Z( s)}{Z_{d}(s)}}}}.

Där Laplace -domänöverföringsfunktionerna och impedanserna i uttrycken ovan definieras enligt följande: $H (s)$ är överföringsfunktionen med det extra elementet närvarande. $H \infty (s)$ är överföringsfunktionen med det extra elementet öppet. $0 H (s)$ är överföringsfunktionen med det extra elementet kortslutet. $Z (s)$ är impedansen för det extra elementet. $Zd . (s)$ är enkelinsprutningsdrivpunktsimpedansen "sett" av det extra elementet $Zn . (s)$ är dubbel-noll-injektionsdrivpunktsimpedansen "sett" av det extra elementet

Extraelementsatsen bevisar för övrigt att vilken elektrisk kretsöverföringsfunktion som helst inte kan uttryckas som mer än en bilinjär funktion av ett visst kretselement.

Drivpunktsimpedanser

Drivpunktsimpedans med enkel injektion

$Z d (s)$ hittas genom att göra ingången till systemets överföringsfunktion noll (kortslutning till en spänningskälla eller öppen krets till en strömkälla) och bestämma impedansen över de terminaler som det extra elementet kommer att anslutas till med det extra elementet frånvarande . Denna impedans är samma som Thévenins ekvivalenta impedans.

Dubbel nollinjektion körpunktsimpedans

$Zn . (s)$ hittas genom att ersätta det extra elementet med en andra testsignalkälla (antingen strömkälla eller spänningskälla, beroende på vad som är lämpligt) Sedan definieras Zn(s) som förhållandet mellan spänningen över terminalerna på denna andra testkälla och strömmen som lämnar dess positiva terminal när utsignalen från systemets överföringsfunktion nollställs för vilket värde som helst av den $primära överföring ingången till systemets$ fungera.

I praktiken kan $Zn . (s)$ hittas från att arbeta baklänges från fakta att överföringsfunktionens utdata görs till noll och att den primära ingången till överföringsfunktionen är okänd Använd sedan konventionella kretsanalystekniker för att uttrycka både spänningen över den extra elementtestkällans anslutningar, $vn och (s)$ , och strömmen som lämnar den extra elementtestkällans positiva terminaler, $Z_{n}(s)=v_{n}(s)/i_{n}(s)$ $n (s),$ beräkna . Även om beräkning av $dess Zd (noll s Z$ $n (s) är en obekant process för många ingenjörer, är$ uttryck ofta mycket enklare än de för ) eftersom nollställningen av överföringsfunktionens utsignal ofta leder till att andra spänningar/strömmar i kretsen är , vilket kan tillåta uteslutning av vissa komponenter från analys.

Specialfodral med överföringsfunktion som självimpedans

Som ett specialfall kan EET användas för att hitta ingångsimpedansen för ett nätverk med tillägg av ett element betecknat som "extra". I detta fall $Zd .$ samma som impedansen för ingångstestströmkällans signal som är noll eller ekvivalent med ingången öppen På samma sätt, eftersom överföringsfunktionens utsignal kan anses vara spänningen vid ingångsklämmorna, $hittas Zn$ när inspänningen är noll, dvs ingångsklämmorna är kortslutna. Sålunda, för denna speciella applikation kan EET skrivas som:

Z_{\text{in}}=Z_{\text{i}}^{\infty }\cdot {\frac {1 +{\frac {Z_{e}^{0}}{Z}}}{1+{\frac {Z_{e}^{\infty }}{Z}}}}

var

$Z$ är impedansen som valts som extra element
$Z_{\text{in}}^{\infty }$ är ingångsimpedansen med Z borttagen (eller gjort oändlig)
$Z_{e}^{0}$ är impedansen som ses av det extra elementet Z med ingången kortsluten (eller gjort noll)
$Z_{e}^{\infty }$ är impedansen som ses av det extra elementet Z med ingången öppen (eller gjort oändlig)

Att beräkna dessa tre termer kan verka som extra ansträngning, men de är ofta lättare att beräkna än den totala ingångsimpedansen.

Exempel

Figur 1: Enkel RC-krets för att demonstrera EET. Kondensatorn (grå skuggning) betecknas som extraelement

Tänk på problemet med att hitta $Z_{in}$ för kretsen i figur 1 med hjälp av EET (observera att alla komponentvärden är enhet för enkelhets skull). Om kondensatorn (grå skuggning) betecknas det extra elementet då

Z={\frac {1}{s}}.

Ta bort denna kondensator från kretsen,

Z_{in}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.

Beräknar impedansen som ses av kondensatorn med ingången kortsluten,

Z_{e}^{0}=1\|(1+1\|1)={\frac {3}{5}}.

Beräknar impedansen som ses av kondensatorn med öppen ingång,

Z_{e}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.

Därför, med hjälp av EET,

Z_{in}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {1+{\frac {3}{5}}s}{1+{\frac {5}{3} }s}}={\frac {5+3s}{3+5s}}.

Detta problem löstes genom att beräkna tre enkla körpunktsimpedanser genom inspektion.

Återkopplingsförstärkare

EET är också användbart för att analysera enkel- och flerslingsåterkopplingsförstärkare. I detta fall kan EET ta formen av den asymptotiska förstärkningsmodellen .

Se även

Vidare läsning

Christophe Basso Linear Circuit Transfer Functions: An Introduction to Fast Analytical Techniques första upplagan, Wiley, IEEE Press, 2016, 978-1119236375

^ Vorpérian, Vatché (2002). Snabba analytiska tekniker för elektriska och elektroniska kretsar . Cambridge UK/NY: Cambridge University Press. s. 61–106. ISBN 978-0-521-62442-8 .
^ Vorpérian, Vatché (2002-05-23). Snabba analytiska tekniker för elektriska och elektroniska kretsar . s. 137–139. ISBN 978-0-521-62442-8 .
^ Middlebrook RD (1989). "Nolldubbelinjektion och extraelementsatsen" (PDF) . IEEE-transaktioner på utbildning . 32 (3): 167–180. doi : 10.1109/13.34149 .

externa länkar

[Vorpérian-1] Vorpérian, Vatché (2002). Snabba analytiska tekniker för elektriska och elektroniska kretsar . Cambridge UK/NY: Cambridge University Press. s. 61–106. ISBN 978-0-521-62442-8 .

[Vorpérian2-2] Vorpérian, Vatché (2002-05-23). Snabba analytiska tekniker för elektriska och elektroniska kretsar . s. 137–139. ISBN 978-0-521-62442-8 .

[Middlebrook1-3] Middlebrook RD (1989). "Nolldubbelinjektion och extraelementsatsen" (PDF) . IEEE-transaktioner på utbildning . 32 (3): 167–180. doi : 10.1109/13.34149 .