Erosion (morfologi)

Erosionen av den mörkblå fyrkanten av en skiva, vilket resulterar i den ljusblå fyrkanten.

Erosion (vanligtvis representerad av ⊖ ) är en av två grundläggande operationer (den andra är dilatation ) i morfologisk bildbehandling från vilken alla andra morfologiska operationer är baserade. Det definierades ursprungligen för binära bilder , senare utvidgades till gråskalebilder och därefter till kompletta galler . Erosionsoperationen använder vanligtvis ett struktureringselement för att sondera och reducera formerna som finns i inmatningsbilden.

Binär erosion

I binär morfologi ses en bild som en delmängd av ett euklidiskt utrymme $\mathbb {R} ^{d}$ eller heltalsrutnätet $\mathbb {Z} ^{d}}$ displaystyle , för någon dimension d .

Grundidén inom binär morfologi är att sondera en bild med en enkel, fördefinierad form och dra slutsatser om hur denna form passar eller missar formerna i bilden. Denna enkla "sond" kallas struktureringselement och är i sig en binär bild (dvs en delmängd av utrymmet eller rutnätet).

Låt E vara ett euklidiskt utrymme eller ett heltalsrutnät och A en binär bild i E . Erosionen av den binära bilden A av strukturelementet B definieras av:

A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\}

,

där Bz $B_{z}=\{b+z|b\in B\}$ translationen av B med vektorn z, _{ , $\forall z\in E$ .

När strukturelementet B har ett centrum (t.ex. en skiva eller en kvadrat), och detta centrum är beläget på utgångspunkten för E , så kan erosionen av A med B förstås som platsen för punkter som nås av B :s centrum när B rör sig inuti A . Till exempel är erosionen av en kvadrat på sidan 10, centrerad vid origo, av en skiva med radie 2, också centrerad vid origo, en kvadrat på sidan 6 centrerad vid origo.

Erosionen av A med B ges också av uttrycket: ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}} ,$ där A _−b betecknar översättningen av A med -b .

Detta är mer allmänt också känt som en Minkowski-skillnad .

Exempel

Antag att A är en 13 x 13 matris och B är en 3 x 3 matris:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Om man antar att origo B är i dess centrum, för varje pixel i A överlagra origo för B, om B är helt innesluten av A behålls pixeln, annars raderas.

Därför ges erosionen av A med B av denna 13 x 13 matris.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Detta innebär att endast när B är helt innesluten i A att pixelvärdena behålls, annars raderas eller urholkas det.

Egenskaper

Erosionen är translationsinvariant .
Den ökar , det vill säga om $A\subseteq C$ , så $A\ominus B\subseteq C\ominus B$ .
Om ursprunget till E tillhör strukturelementet B , är erosionen antiextensiv , dvs $A\ominus B\subseteq A$ .
Erosionen uppfyller $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$ , där $\oplus$ betecknar den morfologiska dilatationen .
Erosionen är distributiv över den fastställda korsningen

Gråskaleerosion

Exempel på erosion på en gråskalebild med ett 5x5 platt strukturelement. Den översta figuren visar tillämpningen av strukturelementfönstret på de individuella pixlarna i originalbilden. Den nedre bilden visar den resulterande eroderade bilden.

I gråskalemorfologi är bilder funktioner som mappar ett euklidiskt utrymme eller rutnät E till ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}} ,$ där $\mathbb {R}$ är mängden reella , $\infty$ är ett element större än något reellt tal, och $-\infty$ är ett element som är mindre än något reellt tal.

Genom att beteckna en bild med f(x) och gråskalestruktureringselementet med b(x) , där B är utrymmet som b(x) definieras, ges gråskaleerosionen av f med b av

(f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f (x+y)-b(y)]

,

där "inf" betecknar infimum .

Med andra ord är erosionen av en punkt minimum av punkterna i dess grannskap, med det grannskapet definierat av det strukturerande elementet. På så sätt liknar det många andra typer av bildfilter som medianfiltret och gaussfiltret .

Erosioner på kompletta galler

Kompletta gitter är partiellt ordnade uppsättningar , där varje delmängd har ett infimum och ett supremum . I synnerhet innehåller den ett minsta element och ett största element (även betecknat "universum").

Låt $(L,\leq )$ vara ett komplett gitter, med infimum och supremum symboliserade med $\wedge$ respektive $\vee$ . Dess universum och minsta element symboliseras med U respektive $\emptyset$ . Låt dessutom $\{X_{i}\}$ vara en samling av element från L .

En erosion i $(L,\leq )$ är vilken operator som helst $\varepsilon :L\rightarrow L$ som fördelar sig över infimumet och bevarar universum. Dvs:

$\bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right )$ ,
$\varepsilon (U)=U$ .

Se även

Bildanalys och matematisk morfologi av Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Bildanalys och matematisk morfologi, volym 2: Teoretiska framsteg av Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
En introduktion till morfologisk bildbehandling av Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
Morfologisk bildanalys; Principer och tillämpningar av Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999)
RC Gonzalez och RE Woods, Digital bildbehandling , 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002.