Enkel våg

För den geometriska malen, se Scopula junctaria .

En enkel våg är ett flöde i ett område som gränsar till ett område med konstant tillstånd. På språket Riemann invariant , kan den enkla vågen också definieras som den zon där en av Riemann-invarianterna är konstant i området av intresse, och följaktligen täcks en enkel vågzon av bågar av egenskaper som är raka linjer.

Enkla vågor förekommer ganska ofta i naturen. Det finns ett teorem (se Courant och Friedrichs) som säger att ett icke-konstant flödestillstånd intill ett konstant värde alltid är en enkel våg . Alla expansionsfläktar inklusive Prandtl–Meyer expansionsfläktar är enkla vågor. Kompressionsvågor fram till stötvågsformer är också enkla vågor. Svaga stötar (inklusive ljudvågor ) är också enkla vågor upp till andra ordningens approximation i stötstyrkan.

Enkla vågor definieras också av beteendet att alla egenskaper under hodograftransformation kollapsar till en enda kurva. Detta betyder att Jacobianen som är involverad i den hodografiska transformationen är noll.

Ostadiga endimensionella enkla vågor

Låt $\rho$ vara gasdensiteten , $\displaystyle u}$ { hastigheten, $p$ trycket och $\displaystyle c={\sqrt { (\partial p/\partial \rho )_{s}}}}$ / ljudets hastighet . I isentropiska flöden entropin $s$ konstant och om gasens initiala tillstånd är homogent så är entropin konstant överallt hela tiden och därför är trycket endast en funktion av $\rho$ , dvs, $p=p(\rho )$ I enkla vågor är alla beroende variabler bara en funktion av någon av de beroende variablerna (detta är säkert fallet i endimensionella ljudvågor) och därför kan vi anta att hastigheten också är en funktion endast av $\rho$ . dvs $u=u(\rho ).$ Denna senare egenskap är orsaken till ursprunget till namnet enkel våg, även om vågen är olinjär.

Från de endimensionella Euler-ekvationerna har vi

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}} =0$

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\ partiell x}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=0$

som, eftersom $u=u(\rho )$ , kan skrivas som

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {d(\rho u)}{d\ rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}=0$

${\frac { \partial u}{\partial t}}+\left(u+{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{du}}\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

Dessutom, eftersom (kom ihåg att tidsderivatan av en funktion $f(x,t)$ integrerad längs en kurva $x=\varphi (t)$ är ges av $(df/dt)_{\varphi }=\partial f/\partial t+(dx/dt)_{\varphi }\partial f/\partial x$ )

${al\ rho /\partial t}{\partial \rho /\partial x}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\rho },\quad {\frac {\partial u/\partial t}{\partial u/\partial x}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{u},$

de två ekvationerna leder till

$\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\rho }={\frac {d(\rho u)}{d\rho }}=u+\rho {\frac {du}{d\rho }},\quad \left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{u}=u+{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{du}}.$

Men eftersom $\rho$ bestämmer $u$ och därför måste ovanstående derivator vara lika så att $\rho du/dp=(1/\rho )dp/du=(c^{2}/\rho )d\rho /du$ . Således får vi ${\displaystyle du/d\rho =\pm c/\rho } ,$ varifrån

$u=\pm \int {\frac {c}{\rho }}d\rho =\pm \int {\frac {dp}{\rho c}}.$

Denna ekvation ger den nödvändiga relationen $u=u(\rho )$ eller, $c=c(u)$ eller, ${ \displaystyle u=u(p)}$ etc. Ovanstående ekvation är bara ett påstående om att antingen $J_{+}$ eller $J_{-}$ Riemann-invarianten är konstant.

Således får vi

$\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{u}=u\pm c(u)$ ,

som vid integration blir

$x=t[u\pm c(u)]+f(u)$

där $f(u)$ är en godtycklig funktion. Denna ekvation indikerar att egenskaperna i $x$ - $t$ -planet bara är raka linjer. När $f(u)=0$ och följaktligen längdskala och tidsskala associerade med den initiala funktionen försvinner, är problemet sig självt och lösningen beror endast på förhållandet ${\ displaystil x/t}$ . Detta speciella fall kallas den centrerade enkla vågen .

Stadiga tvådimensionella enkla vågor

I likhet med de ostadiga endimensionella vågorna kan enkla vågor i en stadig tvådimensionell systemhytt härledas. I detta fall ges lösningen av

$y=xf_{1}(p)+f_{2}(p)$

där $f_{1}(p)=(\partial y/\partial x)_{p}$ och $f_ {2}(p)$ är en godtycklig funktion av tryck. Karakteristiken i $x$ - $t$ -planet är raka linjer. På liknande sätt hänvisas till fallet som motsvarar $f_{2}(p)=0$ som den centrerade enkla vågen ; Prandtl –Meyer expansionsfläkt är ett specialfall av denna centrerade våg.