En guide till klassificeringssatsen för kompakta ytor
A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces är en lärobok i topologi , om klassificeringen av tvådimensionella ytor . Den skrevs av Jean Gallier och Dianna Xu och publicerades 2013 av Springer-Verlag som volym 9 av deras Geometry and Computing-serie ( doi : 10.1007/978-3-642-34364-3 , ISBN 978-3-642-34363 -6 ). Basic Library List Committee of Mathematical Association of America har rekommenderat att det inkluderas i matematiska bibliotek för grundutbildning.
Ämnen
Klassificeringen av ytor (mer formellt, kompakta tvådimensionella grenrör utan gräns) kan anges mycket enkelt, eftersom den bara beror på Euler-karaktäristiken och orienterbarheten hos ytan. En orienterbar yta av denna typ måste vara topologiskt likvärdig ( homeomorphic ) till en sfär , torus eller mer allmän handtagskropp , klassificerad efter dess antal handtag. En icke-orienterbar yta måste vara likvärdig med ett projektivt plan , Klein-flaska eller mer allmän yta som kännetecknas av ett analogt antal, dess antal tvärkapslar . För kompakta ytor med gräns är den enda extra information som behövs antalet gränskomponenter. Detta resultat presenteras informellt i början av boken, som det första av dess sex kapitel. Resten av boken presenterar en mer rigorös formulering av problemet, en presentation av de topologiska verktyg som behövs för att bevisa resultatet, och ett formellt bevis för klassificeringen.
Andra ämnen i topologi som diskuteras som en del av denna presentation inkluderar simpliciala komplex , fundamentala grupper , simplicial homologi och singular homologi och Poincaré-förmodan . Bilagorna inkluderar ytterligare material om inbäddningar och självkorsande kartläggningar av ytor i tredimensionellt utrymme, såsom den romerska ytan , strukturen för ändligt genererade abelska grupper , allmän topologi , klassificeringssatsens historia och Hauptvermutung (satsen som varje ytan kan trianguleras).
Publik och mottagning
Det här är en lärobok som riktar sig till nivån för avancerade studenter eller nybörjarstudenter i matematik, kanske efter att ha genomgått en första kurs i topologi. Läsare av boken förväntas redan vara bekanta med allmän topologi , linjär algebra och gruppteori . Men som lärobok saknar den övningar, och recensenten Bill Wood föreslår att den används för ett studentprojekt snarare än för en formell kurs.
Många andra läroböcker i algebraisk topologi med examen inkluderar täckning av samma ämne. Men genom att fokusera på ett enskilt ämne, klassificeringssatsen, kan boken bevisa resultatet noggrant samtidigt som den förblir på en lägre övergripande nivå, ger en större mängd intuition och historia och fungerar som "en motiverande rundtur i disciplinens grundläggande tekniker".
Recensenten Clara Löh klagar över att delar av boken är överflödiga, och i synnerhet att klassificeringssatsen kan bevisas antingen med grundgruppen eller med homologi (behöver inte båda), att å andra sidan flera viktiga verktyg från topologin inklusive Jordan– Schoenflies-satsen är inte bevisad och att flera relaterade klassificeringsresultat utelämnas. Ändå rekommenderar recensenten DV Feldman boken varmt, Wood skriver "This is a book I wish I'd had in graduate school", och recensenten Werner Kleinert kallar den "en introduktionstext av anmärkningsvärt didaktiskt värde".
externa länkar
- Författarens webbplats för A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces inklusive en PDF-version av kapitel 1