Elitzurs teorem
I kvantfältteori och statistisk fältteori , säger Elitzurs teorem att i mätteorier är de enda operatorerna som kan ha icke-försvinnande förväntade värden de som är oföränderliga under lokala mätartransformationer. En viktig implikation är att mätsymmetri inte kan brytas spontant . Satsen bevisades 1975 av Shmuel Elitzur i gitterfältteorin , även om samma resultat förväntas hålla i kontinuumet . Satsen visar att den naiva tolkningen av Higgs-mekanismen som det spontana symmetribrottet av en mätsymmetri är felaktig, även om fenomenet kan omformuleras helt i termer av mätinvarianta kvantiteter i vad som kallas Fröhlich-Morchio-Strocchi-mekanismen.
Teori
En fältteori tillåter många typer av symmetrier , där de två vanligaste är globala och lokala symmetrier. Globala symmetrier är fälttransformationer som fungerar på samma sätt överallt medan lokala symmetrier verkar på fält på ett positionsberoende sätt. Det senare motsvarar uppsägningar i beskrivningen av systemet. Detta är en följd av Noethers andra teorem som visar att varje mätsymmetrigrad av frihet motsvarar en relation mellan Euler-Lagrange-ekvationerna , vilket gör systemet underbestämt . Underbestämmande kräver mätfixering av de icke-utbredningskomponenter så att rörelseekvationerna medger en unik lösning.
Spontant symmetribrott inträffar när verkan av en teori har en symmetri men vakuumtillståndet bryter mot denna symmetri. I så fall kommer det att finnas en lokal operatör som är icke-invariant under symmetrin som ger den ett vakuumförväntningsvärde som inte är noll. Sådana icke-invarianta lokala operatörer har alltid försvinnande vakuumförväntningsvärden för system med ändlig storlek som förbjuder spontan symmetribrott. Detta beror på att över stora tidsskalor, ändliga system alltid övergår mellan alla dess möjliga grundtillstånd, med ett medelvärde av förväntningsvärdet till noll.
Medan spontana symmetribrott kan inträffa för globala symmetrier, säger Elitzurs sats att detsamma inte är fallet för mätsymmetrier; alla vakuumförväntningsvärden för icke-invarianta operatörer försvinner, även i system av oändlig storlek. På gittret följer av det faktum att integrering av icke-invarianta observerbara mätvärden över ett gruppmått alltid ger noll för grupper med kompakt mätare . Måttets positivitet och mätinvarians är tillräckliga för att bevisa satsen. Detta är också en förklaring till varför mätsymmetrier bara är redundanser i gitterfältsteorier, där rörelseekvationerna inte behöver definiera väl ställda problem eftersom de inte behöver lösas. Istället visar Elitzurs teorem att varje observerbar som inte är invariant under symmetrin har ett försvinnande förväntansvärde som gör den oobserverbar och därmed överflödig.
Att visa att ett system tillåter spontant symmetribrott kräver att man introducerar ett svagt externt källfält som bryter symmetrin och ger upphov till ett föredraget grundtillstånd . Systemet tas sedan till den termodynamiska gränsen varefter det externa källfältet stängs av. Om vakuumförväntningsvärdet för symmetri-icke-invarianta operatorer är icke-noll i denna gräns, så sker ett spontant symmetribrott. Fysiskt betyder det att systemet aldrig lämnar det ursprungliga grundtillståndet i vilket det placerades genom det yttre fältet. För globala symmetrier uppstår detta eftersom energibarriären mellan de olika marktillstånden är proportionell mot volymen, så i den termodynamiska gränsen divergerar detta och låser systemet i marktillståndet. Lokala symmetrier kommer runt denna konstruktion eftersom energibarriären mellan två marktillstånd endast beror på lokala egenskaper så övergångar till olika mätarerelaterade marktillstånd kan inträffa lokalt och kräver inte att fältet ändras överallt samtidigt som det gör för globala symmetrier.
Begränsningar och konsekvenser
Det finns ett antal begränsningar för satsen. I synnerhet är spontan symmetribrytning av en mätsymmetri tillåten i ett system med oändliga rumsliga dimensioner eller en symmetri med ett oändligt antal variabler, eftersom det i dessa fall finns oändliga energibarriärer mellan mätarrelaterade konfigurationer. Satsen gäller inte heller resterande frihetsgrader eller stora gaugetransformationer , som i princip spontant kan brytas. Dessutom förlitar sig alla nuvarande bevis på en gitterfältteoriformulering så att de kan vara ogiltiga i en äkta kontinuumfältteori. Det är därför i princip troligt att det kan finnas exotiska kontinuumteorier för vilka mätsymmetrier spontant kan brytas, även om ett sådant scenario förblir osannolikt på grund av frånvaron av några kända exempel.
Landaus klassificering av faser använder förväntningsvärden för lokala operatörer för att bestämma fasen i systemet. Elitzurs teorem visar dock att detta tillvägagångssätt är otillåtet i vissa system som Yang-Mills teorier för vilka ingen lokal operatör kan agera som en orderoperatör för inneslutning . För att komma runt teoremet krävs istället att man konstruerar icke-lokala mätare invarianta operatorer, vars förväntade värden inte behöver vara noll. De vanligaste är Wilson-slingor och deras termiska motsvarigheter, Polyakov-slingor . En annan icke-lokal operatör som fungerar som orderoperatör är 't Hooft-slingan .
Eftersom mätarsymmetrier inte kan brytas spontant, ifrågasätter detta Higgs-mekanismens giltighet. I den vanliga presentationen har Higgsfältet en potential som verkar ge Higgsfältet ett icke-försvinnande vakuumförväntningsvärde. Detta är dock bara en följd av att man har infört en mätanordning, vanligtvis den enhetliga spårvidden . Vilket värde som helst av vakuumförväntningsvärdet kan erhållas genom ett lämpligt val av mätare. Att beräkna förväntningsvärdet på ett mätinvariant sätt ger alltid noll, i överensstämmelse med Elitzurs teorem. Higgs-mekanismen kan dock omformuleras helt och hållet på ett mätinvariant sätt i det som kallas Fröhlich-Morchio-Strocchi-mekanismen som inte involverar spontant symmetribrott av någon symmetri. För icke-abelska mätargrupper som har en undergrupp stämmer denna mekanism överens med Higgs-mekanismen, men för andra mätargrupper kan det förekomma avvikelser mellan de två tillvägagångssätten .
Elitzurs teorem kan också generaliseras till en större föreställning om lokala symmetrier där det i ett D-dimensionellt utrymme kan finnas symmetrier som verkar enhetligt på ett d-dimensionellt hyperplan . I denna uppfattning verkar globala symmetrier på D-dimensionella hyperplan medan lokala symmetrier verkar på 0-dimensionella. Den generaliserade Elitzurs teorem ger sedan gränser för vakuumförväntningsvärdena för operatorer som är icke-invarianta under sådana d-dimensionella symmetrier. Denna sats har många tillämpningar i system med kondenserad materia där sådana symmetrier förekommer.