Eberhards sats

I matematik, och mer speciellt i polyedrisk kombinatorik , kännetecknar Eberhards sats delvis de multiset av polygoner som kan bilda ytorna på enkla konvexa polyedrar . Det sägs att det, för ett givet antal trianglar, fyrhörningar, femhörningar, sexhörningar och andra polygoner än hexagoner, finns en konvex polyeder med det givna antalet ytor av varje typ (och ett ospecificerat antal hexagonala ytor) om och endast om dessa antal polygoner lyder en linjär ekvation härledd från Eulers polyedriska formel .

Satsen är uppkallad efter Victor Eberhard , en blind tysk matematiker, som publicerade den 1888 i sin habiliteringsavhandling och i utökad form i en bok om polyedrar från 1891.

Definitioner och uttalande

För en godtycklig konvex polyeder kan man definiera siffror $p_{3}$ , $p_{4}$ , $p_{5}$ , etc., där $p_{i}$ räknar de ytor på polyedern som har exakt $i$ -sidor. En tredimensionell konvex polyeder definieras som enkel när varje spets av polyedern faller mot exakt tre kanter. I en enkel polygon faller varje hörn mot tre vinklar av ytor, och varje kant faller mot två sidor av ytor. Eftersom antalet vinklar och sidor på ytorna är givna kan man beräkna de tre talen $v$ (det totala antalet hörn), $e$ (det totala antalet kanter) och $f$ (det totala antalet ansikten), genom att summera över alla ansikten och multiplicera med en lämplig faktor:

v={\frac {1}{3}}\sum _{i}i\,p_{i},

e={\frac {1}{2}}\sum _{i}i\,p_{i},

och

f=\sum _{i}p_{i}.

Att plugga in dessa värden i Eulers polyedriska formel $v-e+f=2$ och rensa nämnare leder till ekvationen

\sum _{i}(6-i)p_{i}=12,

vilket måste uppfyllas av ansiktsräkningarna för varje enkel polyeder. Denna ekvation påverkas dock inte av värdet på $p_{6}$ (eftersom dess multiplikator $6-i$ är noll), och för vissa val av de andra ansiktsräkningarna, ändra $p_{6}$ kan ändra om en polyeder med dessa ansiktsräkningar finns eller inte. Det vill säga att lyda denna ekvation på ansiktsräkningarna är ett nödvändigt villkor för existensen av en polyeder, men inte ett tillräckligt villkor, och en fullständig karakterisering av vilka ansiktsräkningar som är realiserbara skulle behöva ta hänsyn till värdet av p $\ displaystyle p_{6}}$ .

Eberhards teorem antyder att ekvationen ovan är det enda nödvändiga villkoret som inte beror på $p_{6}$ . Den anger att, om en tilldelning av nummer till ${\displaystyle p_{3},p_{4},p_{5},p_{7},\dots } ($ utelämna $p_{6}$ ) lyder ekvationen

\sum _{i}(6-i)p_{i}=12,

då finns det ett värde på $p_{6}$ och en enkel konvex polyeder med exakt $p_{i}$ $i$ -sidiga ytor för alla $i$ .

Exempel

Det finns tre enkla platonska solider , tetraedern , kuben och dodekaedern . Tetraedern har $p_{3}=4$ , kuben har $p_{4}=6$ , och dodekaedern har $p_{5 }=12$ , där alla andra värden på $p_{i}$ är noll. Dessa tre tilldelningar av tal till $p_{i}$ följer alla ekvationen som Eberhards sats kräver att de lyder. Förekomsten av dessa polyedrar visar att det, för dessa tre tilldelningar av tal till ${\displaystyle p_{i}} ,$ finns en polyeder med $p_{6}=0$ . Fallet med dodekaedern, med $p_{5}=12$ och alla andra utom $p_{6}$ noll, beskriver mer generellt fullerenerna . Det finns ingen fulleren med $p_{6}=1$ men dessa grafer är realiserbara för alla andra värden på $p_{6}$ ; se till exempel 26-fulleren-grafen , med $p_{6}=3$ .

En hexagon delar kuben i två kopior av en enkel polyeder med en hexagonal yta, tre likbenta rätvinkliga triangelytor och tre oregelbundna femkantiga ytor. Det är inte möjligt att bilda en enkel polyeder med bara tre trianglar och tre femhörningar, utan den tillagda hexagonen.

Det finns ingen enkel konvex polyeder med tre triangelytor, tre femkantytor och inga andra ytor. Det vill säga, det är omöjligt att ha en enkel konvex polyeder med ${\displaystyle p_{3}=p_{5}=3} ,$ och $p_{i}=0$ för $i\notin \{3,5\}$ . Eberhards sats säger dock att det ska vara möjligt att bilda en enkel polyeder genom att lägga till ett antal hexagoner, och i det här fallet räcker det med en hexagon: att dela en kub på en vanlig hexagon som går genom sex av dess ytor ger två kopior av en enkel taklös polyeder med tre triangelytor, tre femkantytor och en hexagonyta. Det vill säga att inställningen $p_{6}=1$ räcker i detta fall för att producera en realiserbar kombination av ansiktsräkningar.

Relaterade resultat

Ett resultat som är analogt med Eberhards sats gäller för förekomsten av polyedrar där alla hörn faller mot exakt fyra kanter. I det här fallet påverkas inte ekvationen som härleds från Eulers formel av antalet $p_{4}$ av fyrhörningar, och för varje tilldelning till antalet ansikten av andra typer som följer denna ekvation är det möjligt att välja en antal fyrhörningar som gör att en 4-regelbunden polyeder kan realiseras.

En förstärkt version av Eberhards sats säger att det, under samma förhållanden som den ursprungliga satsen, finns ett tal $m$ så att alla val av $p_{6}$ som är större än lika med $m$ och har samma paritet som $m$ är realiserbara med enkla konvexa polyedrar.

Ett teorem av David W. Barnette ger en nedre gräns för antalet hexagoner som behövs, närhelst antalet ytor av ordningen sju eller högre är minst tre. Den anger att i dessa fall,

p_{6}\geq 2+{\frac {p_{3}}{2}}-{\frac {p_{5}}{2}}-\sum _{i>6}p_{i }.

För polygoner med få femhörningar och många ytor av hög ordning kan denna ojämlikhet tvinga antalet hexagoner att vara godtyckligt stort. Mer kraftfullt kan den användas för att hitta tilldelningar till antalet ytor för vilka det erforderliga antalet hexagoner inte kan begränsas av någon funktion av det maximala antalet sidor av en yta.

Analoger av Eberhards teorem har också studerats för andra system av ansikten och ansiktsräkningar än enkla konvexa polyedrar, till exempel för toroidformade grafer och för tessellationer .

Se även