Dynamisk skalning

Dynamisk skalning (ibland känd som Family-Vicsek-skalning ) är ett lackmustest som visar om ett utvecklande system uppvisar självlikhet . I allmänhet sägs en funktion uppvisa dynamisk skalning om den uppfyller:

$f(x,t)\sim t^{\theta }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right).$

Här är exponenten $\theta$ fixerad av dimensionskravet $[f]=[t^{\theta }]$ . Det numeriska värdet för $f/t^{\theta }$ bör förbli invariant trots att måttenheten för $t$ ändras med någon faktor eftersom $\varphi$ är en dimensionslös kvantitet.

Många av dessa system utvecklas på ett liknande sätt i den meningen att data som erhålls från ögonblicksbilden vid vilken som helst bestämd tidpunkt liknar respektive data som tagits från ögonblicksbilden från någon tidigare eller senare tidpunkt. Det vill säga systemet liknar sig självt vid olika tidpunkter. Lakmustestet av sådan självlikhet tillhandahålls av den dynamiska skalningen.

Historia

Termen "dynamisk skalning" som ett av de väsentliga begreppen för att beskriva dynamiken i kritiska fenomen tycks ha sitt ursprung i Pierre Hohenbergs och Bertrand Halperins (1977 ) nyskapande artikel, nämligen de föreslog "[...] att vågvektorn- och frekvensberoende känslighet för en ferromagnet nära dess Curie-punkt kan uttryckas som en funktion oberoende av $|T-T_{C}|$ förutsatt att längden och frekvensen skalar, såväl som magnetiseringen och magnetfält, skalas om med lämpliga potenser av $|T-T_{C}|$ .

Senare föreslog Tamás Vicsek och Fereydoon Family idén om dynamisk skalning i samband med diffusionsbegränsad aggregering ( DLA ) av kluster i två dimensioner. Formen för deras förslag för dynamisk skalning var:

$f(x,t)\sim t^{-w}x^{-\tau }\varphi \left({ \frac {x}{t^{z}}}\right),$

där exponenterna uppfyller följande samband:

$w=(2-\tau )z.$

Testa för dynamisk skalning

I sådana system kan vi definiera en viss tidsberoende stokastisk variabel $x$ . Vi är intresserade av att beräkna sannolikhetsfördelningen för $x$ vid olika tidpunkter, dvs $f(x,t)$ . Det numeriska värdet för $f$ och det typiska värdet eller medelvärdet för $x$ ändras i allmänhet över tiden. Frågan är: vad händer med motsvarande dimensionslösa variabler? Om de numeriska värdena för dimensionsstorheterna ändras, men motsvarande dimensionslösa kvantiteter förblir oföränderliga, kan vi hävda att ögonblicksbilder av systemet vid olika tidpunkter är lika. När detta händer säger vi att systemet är sig självlikt.

Ett sätt att verifiera dynamisk skalning är att plotta dimensionslösa variabler $f/t^{\theta }$ som en funktion av $x/t^{z}$ av den extraherade data vid olika tidpunkter. Om sedan alla plotter av $f$ vs $x$ som erhålls vid olika tidpunkter kollapsar på en enda universell kurva så sägs det att systemen vid olika tidpunkter är lika och att de följer dynamisk skalning. Idén om datakollaps är djupt rotad i Buckingham Pi-satsen . I huvudsak kan sådana system betecknas som tidsmässig självlikhet eftersom samma system är lika vid olika tidpunkter.

Exempel

Många fenomen som undersöks av fysiker är inte statiska utan utvecklas sannolikt med tiden (dvs. Stokastisk process) . Universum i sig är kanske ett av de bästa exemplen. Det har expanderat ända sedan Big Bang . På samma sätt är tillväxten av nätverk som Internet också ständigt växande system. Ett annat exempel är polymernedbrytning där nedbrytningen inte sker i ett ögonblick utan snarare under ganska lång tid. Spridning av biologiska virus och datavirus sker inte heller över natten.

Många andra till synes olika system som visar sig uppvisa dynamisk skalning. Till exempel:

• aggregeringskinetik som beskrivs av Smoluchowskis koagulationsekvation ,
• komplexa nätverk som beskrivs av Barabasi–Albert-modellen ,
• det kinetiska och stokastiska Cantor-setet ,
• tillväxtmodellen inom universalitetsklassen Kardar–Parisi–Zhang (KPZ ) ; man finner att bredden på ytan $W(L,t)$ uppvisar dynamisk skalning.
• areastorleksfördelningen för blocken av viktat planar stokastiskt gitter (WPSL) uppvisar också dynamisk skalning.
• de marginella sannolikheterna för fraktionella Poisson-processer uppvisar dynamisk skalning.