Vägt plant stokastiskt galler

Fysiker använder ofta olika galler för att applicera sina favoritmodeller i dem. Till exempel är det mest favoritgallret kanske det kvadratiska gittret. Det finns 14 Bravais-rymdgitter där varje cell har exakt samma antal närmaste, näst närmaste, närmaste av näst närmaste etc. grannar och därför kallas de vanliga gitter. Ofta studerar fysiker och matematiker fenomen som kräver oordnat gitter där varje cell inte har exakt samma antal grannar, snarare kan antalet grannar variera kraftigt. Till exempel, om man vill studera spridningen av sjukdomar, virus, rykten etc. så är det sista man skulle leta efter det kvadratiska gallret. I sådana fall är ett oordnat galler nödvändigt. Ett sätt att konstruera ett oordnat gitter är att göra följande.

Att börja med en kvadrat, säg av enhetsarea, och slumpmässigt dela upp ett block i varje steg, efter att ha valt det i första hand med avseende på ares, i fyra mindre block skapar viktat planar stokastiskt gitter (WPSL) . I huvudsak är det ett oordnat plant gitter eftersom dess blockstorlek och deras koordinationsnummer är slumpmässiga.

Beskrivning

Inom tillämpad matematik är ett viktat planar stokastiskt gitter (WPSL) en struktur som har egenskaper gemensamma med de för gitter och de för grafer . I allmänhet kan rymdfyllande plana cellulära strukturer vara användbara i en mängd olika till synes olika fysiska och biologiska system. Som exempel kan nämnas spannmål i polykristallina strukturer, celltextur och vävnader inom biologin, nålformig textur i martensittillväxt , tessellbeläggning på havsstränder, tvålskum och jordbruksmarksindelning efter ägande etc. Frågan om hur dessa strukturer ser ut och förståelsen av deras topologiska och geometriska egenskaper har alltid varit ett intressant förslag bland forskare i allmänhet och fysiker i synnerhet. Flera modeller föreskriver hur man genererar cellulära strukturer. Ofta kan dessa strukturer direkt efterlikna de strukturer som finns i naturen och de kan fånga de väsentliga egenskaper som vi hittar i naturliga strukturer. I allmänhet uppträder cellulära strukturer genom slumpmässig tessellation , plattsättning eller uppdelning av ett plan i angränsande och icke-överlappande celler. Till exempel bildas Voronoi-diagram och Apollonsk packning genom att dela upp eller plattsätta ett plan i sammanhängande och icke-överlappande konvexa polygoner respektive skivor.

Regelbundna plana gitter som kvadratiska gitter, triangulära gitter, bikakegaller, etc., är det enklaste exemplet på cellstrukturen där varje cell har exakt samma storlek och samma koordinationsnummer. Det plana Voronoi-diagrammet har å andra sidan varken en fast cellstorlek eller ett fast koordinationsnummer. Dess koordinationsnummerfördelning är ganska Poissonisk till sin natur. Det vill säga att fördelningen toppas runt medelvärdet där det är nästan omöjligt att hitta celler som har betydligt högre eller färre koordinationsnummer än medelvärdet. Nyligen föreslog Hassan et al ett gitter, nämligen det viktade plana stokastiska gittret. Till exempel, till skillnad från ett nätverk eller en graf, har den egenskaper hos gitter eftersom dess platser är rumsligt inbäddade. Å andra sidan, till skillnad från gitter, visar dess dubbla (erhållen genom att betrakta mitten av varje block i gittret som en nod och den gemensamma gränsen mellan blocken som länkar) egenskapen hos nätverk eftersom dess gradfördelning följer en maktlag . Dessutom, till skillnad från vanliga gitter, är storleken på dess celler inte lika; snarare följer fördelningen av areastorleken på dess block dynamisk skalning , vars koordinationsnummerfördelning följer en maktlag.

En ögonblicksbild av det viktade stokastiska gittret.

Konstruktion av WPSL

Byggprocessen för WPSL kan beskrivas enligt följande. Det börjar med en kvadrat av enhetsarea som vi ser som en initiativtagare. Generatorn delar sedan in initiatorn, i det första steget, slumpmässigt med enhetlig sannolikhet i fyra mindre block. I det andra steget och därefter appliceras generatorn på endast ett av blocken. Frågan är: Hur väljer vi det blocket när det finns mer än ett block? Det mest generiska valet skulle vara att plocka företrädesvis efter sina områden så att ju högre yta desto större är sannolikheten att bli plockad. Till exempel, i steg ett, delar generatorn in initiatorn slumpmässigt i fyra mindre block. Låt oss märka deras områden från det övre vänstra hörnet och flytta medurs som $a_{1},a_{2},a_{3}$ och $a_{4 }$ . Men sättet vi märker på är naturligtvis helt godtyckligt och kommer inte att ha någon konsekvens för de slutliga resultaten av några observerbara kvantiteter. Observera att $a_{i}$ är arean av det ${\displaystyle i}:$ e blocket som väl kan betraktas som sannolikheten för att välja det i { $displaystyle i}$ :e blocket. Dessa sannolikheter är naturligt normaliserade $\sum _{i}a_{i}=1$ eftersom vi väljer arean för initiatorn lika med ett. I steg två väljer vi ett av de fyra blocken i första hand med avseende på deras områden. Tänk på att vi väljer blocket $3$ och applicerar generatorn på det för att dela upp det slumpmässigt i fyra mindre block. Således är etiketten $3$ nu överflödig och därför återvinner vi den för att märka det övre vänstra hörnet medan resten av tre nya block är märkta $a_{5},a_{6}$ och $a_{7}$ medurs. I allmänhet, i det $j$ :e steget, väljer vi ett av $3j-2$ -block företrädesvis med avseende på area och delar upp slumpmässigt i fyra block. Den detaljerade algoritmen finns i Dayeen och Hassan och Hassan, Hassan och Pavel.

Denna process av gittergenerering kan också beskrivas enligt följande. Tänk på att substratet är en kvadrat av enhetsarea och vid varje tidssteg bildas en kärna från vilken två ortogonala uppdelningslinjer parallella med sidorna av substratet växer tills de fångas upp av befintliga linjer. Det resulterar i att torget delas upp i allt mindre ömsesidigt uteslutande rektangulära block. Observera att ju högre arean av ett block är, desto högre är sannolikheten att fröet kommer att kärnbildas i det för att dela upp det i fyra mindre block eftersom frön sås slumpmässigt på substratet. Den kan också beskriva kinetiken för fragmentering av tvådimensionella objekt.

Områdesstorleksfördelningsfunktion C(a,t) för tre olika storlekar av WPSL. I insättningen plottas samma data på de självliknande koordinaterna och datakollapsen för all data som tagits vid olika tidpunkter kollapsar till en universell kurva. Den avslöjar att funktionen för areastorleksfördelning följer dynamisk skalning.

Gradfördelning av dubbelt av WPSL och koordinationsnummerfördelning av själva WPSL.

Egenskaper för WPSL

Dynamiken i tillväxten av detta gitter styrs av oändligt många bevarandelagar, varav en är det triviala bevarandet av total yta.
Var och en av de icke-triviala bevarandelagarna kan användas som ett multifraktalt mått och därför är det också ett multi-multifraktal ( multifraktalt system ).
Områdesstorleksfördelningsfunktionen för dess block följer dynamisk skalning .
Det kan mappas som ett nätverk om vi betraktar mitten av varje block som en nod och den gemensamma gränsen mellan blocket som länken mellan mitten av motsvarande noder. Gradfördelningen av det resulterande nätverket uppvisar maktlag ( skalfritt nätverk ) . 1999 hävdade Barabasi och Albert att regeln om tillväxt och förmånlig anknytning (PA) är de två grundläggande ingredienserna bakom fördelning av makt-lagsgrad. När det gäller WPSL är närvaron av en av ingredienserna uppenbar. Vad sägs om PA-regeln. En närmare titt på tillväxtprocessen för WPSL tyder på att ett block får ny granne endast om en av dess grannar plockas och delas. Alltså ju fler grannar ett block har, desto större är chansen att det kommer att få fler grannar. Faktum är att den ( Medlingsdrivna anknytningsmodellen ) förkroppsligar exakt denna idé. Även i denna modell är PA-regeln närvarande men i förklädnad!
Den uppvisar multiskalning.

Före 2000 studerade epidemimodeller till exempel genom att applicera dem på vanliga gitter som kvadratiska gitter under antagandet att alla kan infektera alla andra på samma sätt. Framväxten av ett nätverksbaserat ramverk har medfört en fundamental förändring och erbjuder ett mycket mycket bättre pragmatiskt skelett än någon gång tidigare. Idag är epidemimodeller en av de mest aktiva tillämpningarna av nätverksvetenskap, som används för att förutse spridningen av influensa eller för att begränsa ebola. WPSL kan vara en bra kandidat för att tillämpa epidemiliknande modeller eftersom den har egenskaperna för graf eller nätverk och egenskaperna hos traditionella gitter också.