Dolgachev yta

Inom matematiken är Dolgachev-ytor vissa enkelt sammankopplade elliptiska ytor , introducerade av Igor Dolgachev ( 1981 ). De kan användas för att ge exempel på en oändlig familj av homeomorfa enkelt anslutna kompakta 4-grenrör , varav inte två är diffeomorfa .

Egenskaper

Explosionen $X_{0}$ i det projektiva planet i 9 punkter kan realiseras som en elliptisk fibrering vars alla fibrer är irreducerbara . En Dolgachev-yta $X_{q}$ ges genom att tillämpa logaritmiska transformationer av ordning 2 och q på två släta fibrer för några $q\geq 3$ .

Dolgachev-ytorna är helt enkelt sammankopplade, och den bilinjära formen på den andra kohomologigruppen är udda av signatur $(1,9)$ (så det är det unimodulära gittret $I_{ 1,9}$ ). Det geometriska släktet $p_{g}$ är 0 och Kodaira-dimensionen är 1.

Simon Donaldson ( 1987 ) hittade de första exemplen på homeomorfa men inte diffeomorfa 4-grenrör $X_{0}$ och $X_{3}$ . Mer generellt är ytorna $X_{q}$ och $X_{r}$ alltid homeomorfa, men är inte diffeomorfa om inte $q=r$ .

Selman Akbulut ( 2012 ) visade att Dolgachev-ytan $X_{3}$ har en handtagsnedbrytning utan 1- och 3-handtag.

•   Akbulut, Selman (2012). "Dolgachevytan. Motbevisar Harer-Kas-Kirby-förmodan". Commentarii Mathematici Helvetici . 87 (1): 187–241. arXiv : 0805.1524 . Bibcode : 2008arXiv0805.1524A . doi : 10.4171/CMH/252 . MR 2874900 .
•    Barth, Wolf P. ; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004). Kompakta komplexa ytor . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Vol. 4. Springer-Verlag, Berlin. doi : 10.1007/978-3-642-96754-2 . ISBN 978-3-540-00832-3 . MR 2030225 .
•   Dolgachev, Igor (2010), "Algebraiska ytor med $p_{g}=g=0$ ", Algebraic Surfaces , CIME Summer Schools, vol. 76, Heidelberg: Springer, s. 97–215, doi : 10.1007/978-3-642-11087-0_3 , MR 2757651
•   Donaldson, Simon K. (1987). "Irrationalitet och h-kobordismförmodan" . Journal of Differential Geometry . 26 (1): 141–168. doi : 10.4310/jdg/1214441179 . MR 0892034 .