Djup-lutningsprodukt

Produkten med djuplutning används för att beräkna skjuvspänningen vid bädden av en öppen kanal som innehåller vätska som genomgår ett jämnt , enhetligt flöde. Det används ofta inom flodteknik , bäckrestaurering , sedimentologi och fluvial geomorfologi . Det är produkten av vattendjupet och den genomsnittliga bäddlutningen , tillsammans med accelerationen på grund av gravitationen och vätskans densitet .

Formulering

Användningen av djup-lutningsprodukten - vid beräkning av bäddskjuvspänningen - hänvisar specifikt till två antaganden som är allmänt tillämpliga på naturliga flodkanaler : att kanalens vinkel från horisontalplanet är tillräckligt liten för att den kan approximeras som lutningen av småvinkelformeln och att kanalen är mycket bredare än den är djup, och sidoväggseffekter kan ignoreras. Även om det är ett förenklat tillvägagångssätt att hitta skjuvspänningen i vad som ofta kan vara ett lokalt ostadigt flodsystem , när medelvärde beräknas över avstånd på kilometer, blir dessa lokala variationer medelvärde och djup-lutningsprodukten ett användbart verktyg för att förstå skjuvspänning i öppna kanaler såsom floder.

Djup och hydraulisk radie

Det första antagandet är att kanalen är mycket bredare än den är djup, och ekvationerna kan lösas som om kanalen vore oändligt bred. Detta innebär att sidoväggseffekter kan ignoreras och att den hydrauliska radien , $R_{h}$ , kan antas vara lika med kanaldjupet, $h$ .

R_{h}={\frac {A}{P}}

där $A$ är flödets tvärsnittsarea och $P$ är fuktad omkrets . För en halvcirkelformad kanal skulle den hydrauliska radien helt enkelt vara den sanna radien .

För en ungefär rektangulär kanal (för enkelhetens skull i matematiken för förklaringen av antagandet),

A=bh

,

där $b$ är kanalens bredd (bredd) och

P=b+2h

.

För b>>h,

P\rightarrow b

,

och därför

R_{h}\högerpil {\frac {bh}{b}}=h

.

Formellt kan detta antagande i allmänhet hållas när bredden är större än cirka 20 gånger höjden; den exakta mängden uppkomna fel kan hittas genom att jämföra höjden med den hydrauliska radien. För kanaler med ett lägre bredd-till-djup-förhållande kan en bättre lösning hittas genom att använda den hydrauliska radien istället för ovanstående förenkling.

Tryck

Den totala spänningen på bädden av en öppen kanal med oändlig bredd ges av det hydrostatiska trycket som verkar på bädden. För en vätska med densitet $\rho$ , en acceleration på grund av gravitationen $g$ och ett flödesdjup $h$ , är trycket som utövas på bädden helt enkelt vikten av ett element av fluid, $\rho g$ , gånger flödets djup, $h$ . Av detta får vi uttrycket för det totala trycket, ${\displaystyle P_{b}} ,$ som verkar på sängen.

P_{b}=\rho gh\,

Skjuvspänning

För att omvandla trycket till en skjuvspänning är det nödvändigt att bestämma den komponent av trycket som ger skjuvning på bädden. För en kanal som är i vinkel $\alpha$ från horisontal, skjuvkomponenten av spänningen som verkar på bädden $/\left(\tau _{b}\right)$ , som är den komponent som verkar tangentiellt mot bädden, är lika med det totala trycket gånger sinus för vinkeln $\alpha$ .

\tau _{b}=\rho gh\sin {\left(\alpha \right)}\,

I naturliga floder är vinkeln $\alpha$ vanligtvis mycket liten. Som ett resultat säger småvinkelformeln att:

\sin {\left(\alpha \right)}\approx \tan {\left(\alpha \right)}

Tangensen för vinkeln $\alpha$ är per definition lika med kanalens lutning , $S$ .

\tan {\left(\alpha \right)}\equiv S

Från detta kan vi komma fram till den slutliga formen av sambandet mellan bäddskjuvspänning och djup-lutningsprodukt:

\tau _{b}=\rho ghS\,

Skalning

Om man antar en enda, välblandad, homogen vätska och en enda acceleration på grund av gravitation (båda är bra antaganden i naturliga floder, och det andra är ett bra antagande för processer på jorden, eller någon planetkropp med ett dominerande inflytande på den lokala gravitationen fält), de enda två variablerna som bestämmer gränsskjuvspänningen är djupet och lutningen. Detta är betydelsen av formelns namn.

\tau _{b}\propto hS

För naturliga strömmar, i mks- eller SI -systemet (enheter av pascal för skjuvspänning), är ett typiskt användbart förhållande att komma ihåg att:

\tau _{b}=10000\left[{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{2}\ \ mathrm {s} ^{2}}}\right]hS

för vatten med en densitet på 1000 kg/m ³ och approximerar accelerationen på grund av gravitationen till 10 m/s ² (felet i detta antagande är typiskt mycket mindre än felet från mätningar).

Används

Sängskjuvspänning kan användas för att hitta:

Den vertikala hastighetsprofilen inom vätskeflödet
Vätskans förmåga att transportera sediment
Hastigheten för skjuvspridning av föroreningar och spårämnen.

Se även

Leopold, Wolman och Miller (1964), Fluvial Processes in Geomorphology, Dover Publications, Mineola, NY, USA, 535 s.