Detrended fluktuationsanalys

I stokastiska processer , kaosteori och tidsserieanalys är detrended fluktuationsanalys ( DFA ) en metod för att bestämma den statistiska självaffiniteten för en signal. Det är användbart för att analysera tidsserier som verkar vara långa minnesprocesser (divergerande korrelationstid, t.ex. autokorrelationsfunktion för avklingande effektlag ) eller 1/f-brus .

Den erhållna exponenten liknar Hurst-exponenten , förutom att DFA också kan tillämpas på signaler vars underliggande statistik (som medelvärde och varians) eller dynamik är icke-stationär (förändras med tiden). Det är relaterat till mätningar baserade på spektraltekniker som autokorrelation och Fouriertransform .

Peng et al. introducerade DFA 1994 i en artikel som har citerats över 3 000 gånger från och med 2022 och representerar en förlängning av den (vanliga) fluktuationsanalysen (FA), som påverkas av icke-stationariteter.

Beräkning

Betrakta en avgränsad tidsserie $x_{t}$ av längden $N$ , där $t\in \mathbb {N}$ , och låt dess medelvärde betecknas $\langle x\rangle$ . Integration eller summering omvandlar detta till en obegränsad process $X_{t}$ :

X_{t}=\summa _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )

$X_{t}$ kallas kumulativ summa eller profil. Denna process omvandlar till exempel en iid vitt brusprocess till en slumpmässig promenad .

Därefter delas ${\displaystyle X_{t}} in i tidsfönster med längd$ $n$ vardera sampel, och en lokal minsta kvadraters rätlinjeanpassning (den lokala trenden) beräknas genom att minimera de kvadratiska felen inom varje tidsfönster. Låt $Y_{t}$ indikera den resulterande bitvisa sekvensen av rätlinjeanpassningar. Sedan beräknas rot-medelkvadratavvikelsen från trenden, fluktuationen :

F(n)={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^ {2}}}.

Slutligen upprepas denna process av avskräckning följt av fluktuationsmätning över en rad olika fönsterstorlekar $n$ och en log-log-graf av $F(n)$ mot $n$ är konstruerad.

En rät linje på denna log-log-graf indikerar statistisk självaffinitet uttryckt som $F(n)\propto n^{\alpha }$ . Skalningsexponenten $\alpha$ beräknas som lutningen av en rät linjepassning till log-log-grafen för $n$ mot $F(n)$ med hjälp av minsta kvadrater . Denna exponent är en generalisering av Hurst-exponenten . Eftersom den förväntade förskjutningen i en okorrelerad slumpmässig promenad av längd N växer som ${\displaystyle {\sqrt {N}}} , skulle$ en exponent på ${\tfrac {1}{2}}$ motsvara okorrelerad vitt brus. När exponenten är mellan 0 och 1, är resultatet bråktaligt Gaussiskt brus , med det exakta värdet som ger information om seriens självkorrelationer:

$\displaystyle \alpha <1/2}$ : anti-
$\alpha \simeq 1/2$ : okorrelerat, vitt brus
$\displaystyle \alpha >1/2}$ {
$\alpha \simeq 1$ : 1/f-brus, rosa brus
$\alpha >1$ : icke-stationär, obegränsad
$\displaystyle \alpha \simeq 3/2}$ : Brownskt

Generalisering till supralinjära trender

Trender av högre ordning kan tas bort med högre ordnings DFA, där en linjär passning ersätts med en polynompassning. I det beskrivna fallet tillämpas linjära passningar ( ${\displaystyle i=1} ) på profilen, så den kallas DFA1.$ För att ta bort trender av högre ordning använder DFA $i$ polynompassningar av ordningen i { $displaystyle i}$ .

På grund av summeringen (integration) från $x_{i}$ till $X_{t}$ representerar linjära trender i profilens medelvärde konstanta trender i den initiala sekvensen, och DFA1 tar bara bort sådana konstanta trender (steg) i $x_{i}$ . I allmänhet tar DFA av ordningen $i$ bort (polynomiska) trender av ordningen $i-1$ . För linjära trender i medelvärdet av $x_{i}$ behövs minst DFA2.

Hurst R/S-analysen tar bort konstanta trender i den ursprungliga sekvensen och är således, i sin avskräckning, ekvivalent med DFA1.

Generalisering till olika ögonblick

Eftersom i fluktuationsfunktionen $F(n)$ används kvadraten (roten) mäter DFA skalningsbeteendet för de andra momentfluktuationerna, detta betyder $\ alfa =\alfa (2)$ . Den multifraktala generaliseringen (MF-DFA) använder ett variabelt moment $q$ och ger $\alpha (q)$ . Kantelhardt et al. avsåg denna skalningsexponent som en generalisering av den klassiska Hurst-exponenten. Den klassiska Hurst-exponenten motsvarar det andra momentet för stationära fall $H=\alpha (2)$ och det andra momentet minus 1 för icke-stationära fall $H=\alfa (2)-1$ .

I huvudsak behöver skalningsexponenterna inte vara oberoende av systemets skala. I fallet $\alpha$ på effekten $q$ som extraheras från

F_{q}(n)=\left({\frac {1}{N} }\summa _{t=1}^{N}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^{q}\right)^{1/q},

där föregående DFA är $q=2$ . Multifraktalsystem skalar som en funktion $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$ . För att avslöja multifractality är Multifractal Detrended Fluctuation Analysis en möjlig metod.

Ansökningar och studier

DFA-metoden har tillämpats på många system, t.ex. DNA-sekvenser, neuronala oscillationer, talpatologidetektering, hjärtslagsfluktuationer i olika sömnstadier och analys av djurbeteendemönster.

Effekten av trender på DFA har studerats.

Relationer till andra metoder, för specifika typer av signaler

För signaler med autokorrelation som sjunker av kraftlag

I fallet med kraftlagsavklingande autokorrelationer, avtar korrelationsfunktionen med en exponent $\gamma$ : $C(L)\sim L^{-\gamma }\!\$ . Dessutom effektspektrumet som $P(f)\sim f^{-\beta }\!\$ . De tre exponenterna är relaterade till:

$\gamma =2-2\alpha$
$\beta =2\alpha -1$ och
$\gamma =1-\beta$ .

Relationerna kan härledas med hjälp av Wiener–Khinchin-satsen . Relationen mellan DFA och effektspektrummetoden har studerats väl.

Således är $\alpha$ bunden till lutningen av effektspektrumet $\beta$ och används för att beskriva brusets färg genom detta förhållande: $\alpha =(\beta +1)/2$ .

För fraktionerat Gaussiskt brus

För fraktionerat Gaussiskt brus (FGN) har vi $\beta \in [-1,1]$ , och därmed ${\displaystyle \alpha \in [$ , and $\beta =2H-1$ , where $H$ is the Hurst exponent. $\alpha$ for FGN is equal to $H$ .

För fraktionerad Brownsk rörelse

För fraktionerad Brownsk rörelse (FBM) har vi $\beta \in [1,3]$ , och därmed $\alpha \in [1, 2]$ , och $\beta =2H+1$ , där $H$ är Hurst-exponenten . $\alpha$ för FBM är lika med $H+1$ . I detta sammanhang är FBM den kumulativa summan eller integralen av FGN, sålunda skiljer sig exponenterna för deras effektspektra med 2.

Fallgropar i tolkningen

Som med de flesta metoder som är beroende av linjeanpassning är det alltid möjligt att hitta en siffra $\alpha$ med DFA-metoden, men detta betyder inte nödvändigtvis att tidsserien är sig självlik. Självlikhet kräver att punkterna på log-log-grafen är tillräckligt kolinjära över ett mycket brett spektrum av fönsterstorlekar $L$ . Dessutom har en kombination av tekniker inklusive MLE, snarare än minsta kvadrater, visat sig bättre approximera skalningsexponenten, eller maktlagen.

Det finns också många skalande exponentliknande storheter som kan mätas för en självliknande tidsserie, inklusive dividerdimensionen och Hurst-exponenten . Därför är DFA-skalningsexponenten $\alpha$ inte en fraktal dimension som delar alla önskvärda egenskaper för Hausdorff-dimensionen , även om den i vissa speciella fall kan visa sig vara relaterad till box -räknedimensionen för grafen för en tidsserie.

Se även

externa länkar

Handledning om hur man beräknar detrended fluktuationsanalys i Matlab med hjälp av Neurophysiological Biomarker Toolbox .
FastDFA MATLAB- kod för snabb beräkning av DFA-skalningsexponenten på mycket stora datamängder.
Physionet En bra översikt över DFA och C-kod för att beräkna den.
MFDFA Python- implementering av (Multifractal) Detrended Fluctuation Analysis.