Omskalad räckvidd

Det omskalade området är ett statistiskt mått på variabiliteten i en tidsserie som introducerades av den brittiske hydrologen Harold Edwin Hurst (1880–1978). Syftet är att ge en bedömning av hur den skenbara variationen i en serie förändras med längden på den tidsperiod som beaktas.

Det omskalade intervallet för tidsserier beräknas från att dividera intervallet för dess medeljusterade kumulativa avvikelseserie (se avsnittet Beräkning nedan) med standardavvikelsen för själva tidsserien. Tänk till exempel på en tidsserie {1,3,1,0,2,5}, som har ett medelvärde m = 2 och standardavvikelsen S = 1,79. Att subtrahera m från varje värde i serien ger medeljusterade serier {-1,1,-1,-2,0,3}. För att beräkna kumulativ avvikelseserie tar vi det första värdet -1, sedan summan av de två första värdena -1+1=0, sedan summan av de tre första värdena och så vidare för att få {-1,0,-1,-3 ,-3,0}, vars intervall är R = 3, så det omskalade intervallet är R/S = 1,68.

Om vi ​​betraktar samma tidsserie, men ökar antalet observationer av den, kommer det omskalade området i allmänhet också att öka. Ökningen av det omskalade området kan karakteriseras genom att göra en plottning av logaritmen för R/S vs. logaritmen för antalet sampel. Lutningen på denna linje ger Hurst-exponenten , H. Om tidsserien genereras av en slumpmässig promenad (eller en Brownsk rörelseprocess ) har den värdet H =1/2 . Många fysiska fenomen som har en lång tidsserie som lämpar sig för analys uppvisar en Hurst-exponent som är större än 1/2. Till exempel ger observationer av Nilens höjd uppmätt årligen under många år ett värde på H = 0,77.

Flera forskare (inklusive Peters , 1991) har funnit att priserna på många finansiella instrument (som valutakurser, aktievärden etc.) också har H > 1/2. Detta innebär att de har ett beteende som skiljer sig från en slumpmässig promenad, och därför genereras inte tidsserien av en stokastisk process som har det n:te värdet oberoende av alla värden före detta. Enligt modellen för fraktionell Brownsk rörelse kallas detta långt minne av positiv linjär autokorrelation. Det har emellertid visat sig att detta mått endast är korrekt för linjär utvärdering: komplexa olinjära processer med minne behöver ytterligare beskrivande parametrar. Flera studier som använder Lo :s modifierade omskalade intervallstatistik har också motsägit Peters resultat.

Beräkning

Det omskalade intervallet beräknas för en tidsserie, ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,} ,$ enligt följande :

1. Beräkna medelvärdet m

   $\displaystyle m={\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}X_{i}\,}$

2. Skapa en medeljusterad serie

   $Y_{t}=X_{t}-m{\text{ för }}t=1,2,\ prickar ,n\,$

3. Beräkna den kumulativa avvikelseserien Z;

   $Z_{t}=\summa _{i=1}^{t}Y_{i}{\text{ för } }t=1,2,\dots ,n\,$

4. Skapa en serie R;

   $\displaystyle R_$

5. Skapa en standardavvikelseserie S;

   $S_{t}={\sqrt {{\frac {1}{t }}\summa _{i=1}^{t}\left(X_{i}-m(t)\right)^{2}}}{\text{ för }}t=1,2,\dots ,n\,$

   Där m(t) är medelvärdet för tidsserievärdena genom tiden $t$$X_{1},X_{2},\ prickar ,X_{t}\,$

6. Beräkna den omskalade intervallserien (R/S)

   $\left(R/S\right)_{t}={\ frac {R_{t}}{S_{t}}}{\text{ för }}t=1,2,\dots ,n\,$

Lo (1991) förespråkar en justering av standardavvikelsen $S$ för den förväntade ökningen av intervallet $R$ som är ett resultat av kortdistans autokorrelation i tidsserien. Detta innebär att ${\displaystyle S} ersätts$ med ${\displaystyle {\hat {S}}} ,$ vilket är kvadratroten av

${\hat {S}}^{2}=S^{2}+2\summa _{j=1}^{q}\left(1-{\frac {j}{q+1}}\right)C(j),$

där $q$ är någon maximal fördröjning över vilken autokorrelation på kort räckvidd kan vara betydande och $C(j)$ är provets autokovarians vid fördröjning $j$ . Med hjälp av detta justerade omskalade intervall drar han slutsatsen att aktiemarknadens avkastningstidsserier inte visar några bevis på långdistansminne.

Genomföranden

• Matlab-kod för beräkning av R/S, DFA, periodogramregression och wavelet-uppskattningar av Hurst-exponenten och deras motsvarande konfidensintervall finns tillgänglig från RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Implementering i Python: https://github.com/Mottl/hurst

Se även

• Fraktal
• Brownsk fraktionell rörelse
• Fet svans

Vidare läsning

• Hurst, HE; Svart, RP; Simaika, YM (1965). Långtidsförvaring: en experimentell studie . London: Konstapel.
•   Beran, J. (1994). Statistik för processer med långt minne . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-04901-9 .
• Thiele, TA (2014). "Multiscaling och aktiemarknadseffektivitet i Kina". Genomgång av Pacific Basin Financial Markets and Policys . 17 (4): 1450023. doi : 10.1142/S0219091514500234 .