Log–logg plot

En log-log plot av y = x (blå), y = x ² (grön) och y = x ³ (röd). Notera de logaritmiska skalmarkeringarna på var och en av axlarna och att log x och log y axlarna (där logaritmerna är 0) är där x och y själva är 1.

Inom vetenskap och teknik är en log-log-graf eller log-log-plot en tvådimensionell graf med numeriska data som använder logaritmiska skalor på både den horisontella och vertikala axeln. Potensfunktioner – samband av formen $y=ax^{k}$ – visas som räta linjer i en log–log-graf, med exponenten som motsvarar lutningen och koefficienten som motsvarar skärningen . Därför är dessa grafer mycket användbara för att känna igen dessa samband och uppskatta parametrar . Vilken bas som helst kan användas för logaritmen, men oftast används bas 10 (vanliga loggar).

Relation med monomialer

Givet en monomial ekvation $ger {\displaystyle y=ax^{k},}$ med ekvationens logaritm (med valfri bas):

$$\log y=k\log x+\log a.$$

Inställningen $X=\log x$ och $Y=\log y,$ vilket motsvarar att använda en log–log-graf, ger ekvationen:

$$Y=mX+b$$

där m = k är linjens lutning ( gradient ) och b = log a är skärningspunkten på (log y )-axeln, vilket betyder att log x = 0, så, omvänd loggarna, a är y - värdet som motsvarar x = 1.

Ekvationer

Ekvationen för en linje på en log-log-skala skulle vara:

$\log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,$

$F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},$

där m är lutningen och b är skärningspunkten på stocken.

Lutningen av en stock-stock tomt

Hitta lutningen för en stock–stock-plot med hjälp av förhållanden

För att hitta kurvans lutning väljs två punkter på x -axeln, säg x ₁ och x ₂ . Med hjälp av ovanstående ekvation:

$\log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,$

och

$\log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.$

Lutningen m hittas med skillnaden:

${\ displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac { \log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$

där F ₁ är stenografi för F ( x ₁ ) och F ₂ är stenografi för F ( x ₂ ). Figuren till höger illustrerar formeln. Lägg märke till att lutningen i exemplet på figuren är negativ . Formeln ger också en negativ lutning, vilket kan ses av följande egenskap hos logaritmen:

$\log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).$

Hitta funktionen från log-log plot

₀₀₀₀ Ovanstående procedur är nu omvänd för att hitta formen för funktionen F ( x ) med hjälp av dess (förmodade) kända log-log plot. För att hitta funktionen F , välj någon fast punkt ( x , F ), där F är förkortning för F ( x ), någonstans på den räta linjen i grafen ovan, och vidare någon annan godtycklig punkt ( x _{1 ,} F ₁ ) på samma graf. Sedan från lutningsformeln ovan:

$m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/ x_{0})}}$

som leder till

$\log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m} ].$

Lägg märke till att 10 ^{log ₁₀ ( F ₁ )} = F ₁ . Därför kan loggarna inverteras för att hitta:

${\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\ höger)^{m}$

eller

$F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},$

vilket betyder att

$F(x)=\mathrm {konstant} \cdot x^{m}.$

₀₀ Med andra ord, F är proportionell mot x till potensen av lutningen på den räta linjen i dess log-log-graf. Närmare bestämt kommer en rät linje på en log-logg-plot som innehåller punkter ( F , x ) och ( F _{1 ,} x ₁ ) att ha funktionen:

$F(x)={F_{0}}\left({\frac {x} {x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},$

Naturligtvis är det omvända också sant: vilken funktion som helst av formen

$F(x)=\mathrm {konstant} \cdot x^{m$

kommer att ha en rät linje som sin log-log grafrepresentation, där linjens lutning är m .

Hitta området under ett rätlinjesegment av stock–stock plot

För att beräkna arean under ett kontinuerligt, rätlinjesegment av en log-log-plot (eller uppskatta en area av en nästan rak linje), ta den funktion som definierats tidigare

$$F(x)=\mathrm {konstant} \cdot x^{m}.$$

och integrera den. Eftersom det bara fungerar på en bestämd integral (två definierade ändpunkter), har området A under plotten formen

$$A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m +1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}$$

Om du arrangerar om den ursprungliga ekvationen och kopplar in de fasta punktvärdena, visar det sig att

$$\displaystyle \mathrm {konstant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$$

₀ Om du sätter tillbaka in integralen hittar du att för A över x till x ₁

$${\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_ {0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\ log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+ 1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left( {\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac { F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\ frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}$$

Därför: $A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1 }\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]$

För m = −1 blir integralen

$${\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^ {x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {konstant} }{x}}\,dx={\ frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0} \cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\ cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}$$

Ansökningar

Dessa grafer är användbara när parametrarna a och b behöver uppskattas från numeriska data. Specifikationer som denna används ofta inom ekonomin .

Ett exempel är skattningen av penningefterfrågan baserad på inventeringsteori , där man kan anta att penningefterfrågan vid tidpunkten t ges av

$M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},$

där M är den verkliga mängden pengar som innehas av allmänheten, R är avkastningen på en alternativ tillgång med högre avkastning utöver den på pengar, Y är allmänhetens reala inkomst , U är en felterm som antas vara lognormalt fördelad , A är en skalparameter som ska uppskattas, och b och c är elasticitetsparametrar som ska uppskattas. Att ta stockar ger

$m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},$

där m = log M , a = log A , r = log R , y = log Y och u = log U där u är normalfördelad . Denna ekvation kan uppskattas med vanliga minsta kvadrater .

Ett annat ekonomiskt exempel är uppskattningen av ett företags Cobb–Douglas-produktionsfunktion , som är den högra sidan av ekvationen

$Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},$

där Q är mängden produktion som kan produceras per månad, N är antalet timmar sysselsatt i produktionen per månad, K är antalet timmar fysiskt kapital som används per månad, U är en felterm som antas vara lognormalt fördelade, och A , $\alpha$ och $\beta$ är parametrar som ska uppskattas. Att ta loggar ger den linjära regressionsekvationen

$q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}$

där q = log Q , a = log A , n = log N , k = log K och u = log U.

Log-log-regression kan också användas för att uppskatta fraktaldimensionen för en naturligt förekommande fraktal .

Men att gå åt andra hållet – att observera att data visas som en ungefärlig linje på en log-log-skala och dra slutsatsen att data följer en maktlag – är inte alltid giltigt.

Faktum är att många andra funktionella former verkar ungefär linjära på log-log-skalan, och att helt enkelt utvärdera passformen av en linjär regression på loggade data med hjälp av bestämningskoefficienten ( R ² ) kan vara ogiltigt, eftersom antagandena för den linjära regressionsmodell, såsom Gaussiskt fel, kanske inte är uppfylld; dessutom kan anpassningstester av log-log-formen uppvisa låg statistisk kraft , eftersom dessa tester kan ha låg sannolikhet att förkasta kraftlagar i närvaro av andra verkliga funktionella former. Medan enkla log-logg-plottar kan vara lärorika för att upptäcka möjliga maktlagar, och har använts från Pareto på 1890-talet, kräver validering som maktlagar mer sofistikerad statistik.

Dessa grafer är också extremt användbara när data samlas in genom att variera kontrollvariabeln längs en exponentiell funktion, i vilket fall kontrollvariabeln x är mer naturligt representerad på en log-skala, så att datapunkterna är jämnt fördelade i stället för att komprimeras vid låga änden. Utdatavariabeln y kan antingen representeras linjärt, vilket ger en lin–log-graf (log x , y ), eller också kan dess logaritm tas, vilket ger log-log-grafen (log x , log y ).

Bode-plot (en graf över ett systems frekvenssvar ) är också log-log-plot.

Se även

• Semi-log plot (lin–log eller log–lin)
• Maktlag
• Zipf lag

externa länkar

• Webbplats för icke-newtonsk kalkyl