Determinantmetod
Inom matematiken är determinantmetoden någon av en familj av tekniker inom analytisk talteori .
Namnet myntades av Roger Heath-Brown och kommer från det faktum att den centrala delen av metoden är att uppskatta en viss determinant . Dess huvudsakliga tillämpning är att ge en övre gräns för antalet rationella punkter med begränsad höjd på eller nära algebraiska varianter definierade över de rationella talen. Den huvudsakliga nyheten med determinantmetoden är att de erhållna uppskattningarna i alla inkarnationer är enhetliga med avseende på koefficienterna för polynomen som definierar sorten och endast beror på graden och dimensionen av sorten.
Utveckling
Den ursprungliga versionen av determinantmetoden utvecklades av Enrico Bombieri och Jonathan Pila 1989. I sitt ursprungliga sammanhang gällde Bombieri och Pilas resultat endast för eftersom deras argument var starkt beroende av på planets geometri. Bombieri-Pila-versionen av determinantmetoden skulle senare döpas till den realanalytiska determinantmetoden . Oscar Marmon generaliserade Bombieri och Pilas resultat 2010.
Bombieri och Pilas resultat var nytt på grund av dess enhetlighet med avseende på polynomen som definierar kurvorna. Roger Heath-Brown fick det analoga resultatet av Bombieri och Pila i högre dimensioner 2002, med ett annat argument. Heath-Browns tillvägagångssätt skulle senare döpas till den lokala p -adic -determinantmetoden. Den huvudsakliga användningen av Heath-Browns determinantmetod har varit att försöka lösa den så kallade dimensionstillväxtförmodan.
Bortsett från det realanalytiska tillvägagångssättet från Bombieri och Pila och Heath-Browns lokala -adic-metod, inkluderar andra tillvägagångssätt den approximativa determinantmetoden som också beror på Heath-Brown, den globala determinantmetoden från Salberger och en ny variant av den approximativa determinantmetoden på grund av Dietmann och Marmon som gäller polynom som är nära att vara bihomogena.
År 2012 omformulerades denna metod av språket i Arakelov-teorin av Huayi Chen.
2016 fick Stanley Yao Xiao en generalisering av Salbergers globala determinantmetod till inställningen av viktat projektivt utrymme .
- ^ E. Bombieri, J. Pila, Antalet integrerade punkter på bågar och ovaler , Duke Mathematical Journal, 59 (2), sidorna 337–357 (1989)
- ^ O. Marmon, A generalization of the Bombieri-Pila determinant method , Proceedings of the HIM trimester on Diophantine equations, Journal of Mathematical Sciences, 171 , sidorna 736–744 (2010) doi : 10.1007/s10958-71
- ^ DR Heath-Brown, Densiteten av rationella punkter på kurvor och ytor , Annals of Mathematics, 155 (2), sidorna 553-598 (2002)
- ^ DR Heath-Brown, Densiteten av rationella punkter på kurvor och ytor , Annals of Mathematics, 155 (2), sidorna 553–598 (2002)
- ^ TD Browning, DR Heath-Brown, P. Salberger, Räkna rationella poäng på algebraiska varianter , Duke Mathematical Journal, 132 (3), sidorna 545–578 (2006)
- ^ DR Heath-Brown, Summor och skillnader av tre -th potenser , Journal of Number Theory, 129 , sidorna 1579–1594 (2009)
- ^ P. Salberger, Counting rational points on projective variants , preprint 2009
- ^ TD Browning, Quantitative Arithmetic of Projective Varieties , Progress in Mathematics, 277 , Birkhauser
- ^ R. Dietmann, O. Marmon, Tätheten av tvillingar av -fria nummer , Bulletin of the London Mathematical Society, 46 (4), sidorna 818–826 (2014)
- ^ H. Chen, Explicit enhetlig uppskattning av rationella poäng I. Uppskattning av höjder. J. Reine Angew. Matematik. 668 (2012), 59–88.
- ^ H. Chen, explicit enhetlig uppskattning av rationella poäng II. Hyperytbeläggningar. J. Reine Angew. Matematik. 668 (2012), 89–108.
- ^ SY Xiao, Strömfria värden för binära former och den globala determinantmetoden. Int Math Res Notices (2016) doi : 10.1093/imrn/rnw165
