d'Alemberts formel

Inom matematik , och specifikt partiella differentialekvationer (PDE), är d'Alemberts formel den allmänna lösningen till den endimensionella vågekvationen $u_ {tt}(x,t)=c^{2}u_{xx}(x,t)$ (där nedsänkta index indikerar partiell differentiering , med d'Alembert-operatorn , blir PDE: $\ Ruta u=0$ ).

Lösningen beror på initialvillkoren vid t $\displaystyle t=0}$ : $u(x,0)$ och $u_{t}(x, 0)$ . Den består av separata villkor för initialvillkoren $u(x,0)$ och $u_{t}(x,0)$ :

$$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[u(x-ct,0)+u(x+ct,0)\right]+{\frac {1} {2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}u_{t}(\xi ,0)\,d\xi .$$

Den är uppkallad efter matematikern Jean le Rond d'Alembert , som härledde den 1747 som en lösning på problemet med en vibrerande sträng .

Detaljer

Karakteristiken för PDE är $x\pm ct=\mathrm {const}$ ( där $\pm$ -tecken anger de två lösningarna till andragradsekvationen), så vi kan använda ändringen av variabler $\mu =x+ct$ (för den positiva lösningen) och $\eta =x-ct$ (för den negativa lösning) för att transformera PDE till $u_{\mu \eta }=0$ . Den allmänna lösningen för denna PDE är $u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )$ där ${ \displaystyle F}$ och $G$ är $C^{1}$ funktioner. Tillbaka i $x,t$ koordinater,

$u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)$

$u$ är $C^{2}$ om $F$ och $G$ är $C^{2}$ .

Denna lösning $u$ kan tolkas som två vågor med konstant hastighet $c$ som rör sig i motsatta riktningar längs x-axeln.

Betrakta nu denna lösning med Cauchy-data $u(x,0)=g(x),u_{t}( x,0)=h(x)$ .

Med $u(x,0)=g(x)$ får vi $F(x)+ G(x)=g(x)$ .

Med $u_{t}(x,0)=h(x)$ får vi $cF'(x)-cG'(x)=h(x)$ .

Vi kan integrera den sista ekvationen för att få

$$cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.$$

Nu kan vi lösa detta ekvationssystem för att få

$$F(x)={\frac {-1}{2c }}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)$$

$$G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi)d\ xi +c_{1}\right)\right).$$

Nu använder du

$$u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)$$

d'Alemberts formel blir:

$$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}} \int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .$$

Generalisering för inhomogena kanoniska hyperboliska differentialekvationer

Den allmänna formen av en inhomogen differentialekvation av kanonisk hyperbolisk typ har formen av:

$$u_{tt}-c^ {2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),$$

för $-\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}( \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )$ .

Alla andra ordningens differentialekvationer med konstanta koefficienter kan omvandlas till sina respektive kanoniska former . Denna ekvation är ett av dessa tre fall: Elliptisk partiell differentialekvation , parabolisk partiell differentialekvation och hyperbolisk partiell differentialekvation .

Den enda skillnaden mellan en homogen och en inhomogen (partiell) differentialekvation är att i den homogena formen låter vi bara 0 stå på höger sida ( $f(x,t)=0$ ), medan den inhomogena är mycket mer generell, som i $f(x,t)$ vara vilken funktion som helst så länge den är kontinuerlig och kontinuerligt kan differentieras två gånger.

Lösningen av ovanstående ekvation ges av formeln:

$$u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1} {2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc (t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .$$

Om $g(x)=0$ försvinner den första delen, om $h(x)=0$ försvinner den andra delen, och om $f(x)=0$ , den tredje delen försvinner från lösningen, eftersom integrering av 0-funktionen mellan två valfria gränser alltid resulterar i 0.

Se även

• D'Alembert operatör
• Mekanisk våg
• Våg ekvation

externa länkar

• Ett exempel på att lösa en icke-homogen vågekvation från www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html