Cauchy gränsvillkor

I matematik förstärker ett Cauchy ( franska: [koʃi] ) gränsvillkor en vanlig differentialekvation eller en partiell differentialekvation med villkor som lösningen måste uppfylla på gränsen; helst för att säkerställa att en unik lösning finns. - gränsvillkor anger både funktionsvärdet och normalderivatan på domänens gräns . Detta motsvarar att införa både ett Dirichlet- och ett Neumann-gränsvillkor . Den är uppkallad efter den produktiva franska matematiska analytikern Augustin-Louis Cauchy från 1800-talet .

Andra ordningens vanliga differentialekvationer

Cauchy randvillkor är enkla och vanliga i andra ordningens vanliga differentialekvationer ,

y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s {\big )},

där man, för att säkerställa att en unik lösning $y(s)$ existerar, kan specificera värdet på funktionen $y$ och värdet på derivatan $y '$ vid en given punkt $s=a$ , dvs.

y(a)=\alpha ,

och

y'(a)=\beta ,

där $a$ är en gräns eller initialpunkt. Eftersom parametern $s$ vanligtvis är tid, kan Cauchy-villkor också kallas initialvärdevillkor eller initialvärdesdata eller helt enkelt Cauchy-data . Ett exempel på en sådan situation är Newtons rörelselagar, där accelerationen $y''$ beror på position $y$ , hastighet $y'$ , och tiden ${\ displaystyle s}$ ; här motsvarar Cauchy-data att känna till startpositionen och hastigheten.

Partiella differentialekvationer

För partiella differentialekvationer anger Cauchy-gränsvillkoren både funktionen och normalderivatan på gränsen. För att göra saker enkelt och konkret, överväg en andra ordningens differentialekvation i planet

A( x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{ x},\psi _{y}),

där $\psi (x,y)$ är den okända lösningen, $\psi _{x}$ betecknar derivatan av $\psi$ med avseende på $x$ etc. Funktionerna $A,B,C,F$ anger problemet.

Vi söker nu en $\psi$ som uppfyller den partiella differentialekvationen i en domän ${\displaystyle \Omega } ,$ som är en delmängd av $xy$ -planet, och så att Cauchy-gränsvillkoren

\psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n } \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)

håll för alla gränspunkter $(x,y)\in \partial \Omega$ . Här $\mathbf {n} \cdot \nabla \psi$ derivatan i riktning mot normalen till gränsen. Funktionerna $\alpha$ och $\beta$ är Cauchy-data.

Lägg märke till skillnaden mellan ett Cauchy-gränsvillkor och ett Robin-gränsvillkor . I den förra anger vi både funktionen och normalderivatan. I den senare anger vi ett vägt medelvärde av de två.

Vi skulle vilja att gränsvillkor säkerställer att exakt en (unik) lösning existerar, men för andra ordningens partiella differentialekvationer är det inte lika enkelt att garantera existens och unikhet som det är för vanliga differentialekvationer. Cauchy-data är mest omedelbart relevanta för hyperboliska problem (till exempel vågekvationen ) på öppna domäner (till exempel halvplanet).

Se även