Curie-Weiss lag

Curie -Weiss-lagen beskriver den magnetiska känsligheten χ för en ferromagnet i det paramagnetiska området ovanför Curie-punkten :

$\chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}$

där C är en materialspecifik Curie-konstant , T är den absoluta temperaturen och T _C är Curie-temperaturen , båda mätt i kelvin . Lagen förutspår en singularitet i känsligheten vid T = T _C . Under denna temperatur har ferromagneten en spontan magnetisering . Namnet är givet efter Pierre Curie och Pierre-Ernest Weiss .

Kort sammanfattning av relaterade begrepp

Det magnetiska momentet för en magnet är en storhet som bestämmer vridmomentet den kommer att uppleva i ett externt magnetfält . En slinga av elektrisk ström , en stavmagnet, en elektron , en molekyl och en planet har alla magnetiska moment.

Magnetiseringen eller magnetisk polarisering av ett magnetiskt material är vektorfältet som uttrycker tätheten av permanenta eller inducerade magnetiska moment . De magnetiska momenten kan härröra från mikroskopiska elektriska strömmar som orsakas av elektronernas rörelse i enskilda atomer , eller elektronernas eller kärnornas spinn . Nettmagnetisering är resultatet av ett materials svar på ett externt magnetfält , tillsammans med alla obalanserade magnetiska moment som kan finnas även i frånvaro av det externa magnetfältet , till exempel i tillräckligt kallt järn . Det senare kallas spontan magnetisering . Andra material som delar denna egenskap med järn, som nickel och magnetit , kallas ferromagneter . Tröskeltemperaturen under vilken ett material är ferromagnetiskt kallas Curie-temperaturen och varierar mellan olika material.

Begränsningar

I många material misslyckas Curie-Weiss-lagen med att beskriva känsligheten i omedelbar närhet av Curie-punkten, eftersom den är baserad på en medelfältsapproximation . Istället finns det ett kritiskt beteende hos formen

$\chi \propto {\frac {1}{(T-T_{\rm {C}})^{\gamma }}}$

med den kritiska exponenten γ . Vid temperaturer T ≫ T _C gäller dock uttrycket för Curie-Weiss-lagen, men med T _C ersatt av en temperatur Θ som är något högre än den faktiska Curie-temperaturen. Vissa författare kallar Θ Weiss -konstanten för att skilja den från temperaturen på den faktiska Curie-punkten.

Klassiska förhållningssätt till magnetisk susceptibilitet och Bohr-van Leeuwens teorem

Enligt Bohr-van Leeuwen-satsen , när statistisk mekanik och klassisk mekanik tillämpas konsekvent, är det termiska medelvärdet av magnetiseringen alltid noll. Magnetism kan inte förklaras utan kvantmekanik. Det betyder att det inte kan förklaras utan att ta hänsyn till att materia består av atomer. Härnäst listas några halvklassiska tillvägagångssätt till det, med hjälp av en enkel atommodell, eftersom de är lätta att förstå och relatera till även om de inte är helt korrekta.

Det magnetiska momentet för en fri atom beror på rörelsemängden i omloppsbanan och spinn av dess elektroner och kärna. När atomerna är sådana att deras skal är helt fyllda, har de inte något netto magnetiskt dipolmoment i frånvaro av ett externt magnetfält. När det är närvarande, förvränger ett sådant fält banorna (klassiskt koncept) för elektronerna så att det applicerade fältet kan motverkas som förutspått av Lenz's lag . Med andra ord är den magnetiska nettodipolen som induceras av det yttre fältet i motsatt riktning, och sådana material stöts bort av den. Dessa kallas diamagnetiska material.

Ibland har en atom ett netto magnetiskt dipolmoment även i frånvaro av ett externt magnetfält. Bidragen från de enskilda elektronerna och kärnan till det totala rörelsemängdsrörelsen upphäver inte varandra. Detta händer när atomernas skal inte är helt fyllda ( Hunds regel ) . En samling av sådana atomer kanske inte har något magnetiskt nettomoment eftersom dessa dipoler inte är inriktade. Ett externt magnetfält kan tjäna till att rikta in dem i viss utsträckning och utveckla ett magnetiskt nettomoment per volym. Sådan inriktning är temperaturberoende eftersom termisk omrörning verkar för att desorientera dipolerna. Sådana material kallas paramagnetiska .

I vissa material kan atomerna (med nettomagnetiska dipolmoment) interagera med varandra för att anpassa sig även i frånvaro av något externt magnetfält när den termiska omrörningen är tillräckligt låg. Inriktningen kan vara parallell ( ferromagnetism ) eller antiparallell. I fallet med antiparallell kan dipolmomenten eller inte upphäva varandra ( antiferromagnetism , ferrimagnetism ).

Densitetsmatris förhållningssätt till magnetisk susceptibilitet

Vi tar en mycket enkel situation där varje atom kan approximeras som ett tvåtillståndssystem. Den termiska energin är så låg att atomen är i grundtillstånd. I detta grundtillstånd antas atomen inte ha något nettoomloppsrörelsemängd utan endast en oparad elektron för att ge den ett spin av hälften. I närvaro av ett externt magnetfält kommer grundtillståndet att delas upp i två tillstånd med en energiskillnad som är proportionell mot det applicerade fältet. Spinn för den oparade elektronen är parallell med fältet i det högre energitillståndet och antiparallellt i det lägre.

En densitetsmatris , $\rho$ , är en matris som beskriver ett kvantsystem i ett blandat tillstånd, en statistisk ensemble av flera kvanttillstånd (här flera liknande 2-tillståndsatomer). Detta bör jämföras med en enkeltillståndsvektor som beskriver ett kvantsystem i rent tillstånd. Förväntningsvärdet för en mätning, $A$ , över ensemblen är $\langle A\rangle =\operatörsnamn {Tr} (A\rho )$ . När det gäller en komplett uppsättning tillstånd, $|i\rangle$ , kan man skriva

$\rho =\sum _{ij}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|.$

Von Neumanns ekvation berättar för oss hur densitetsmatrisen utvecklas med tiden.

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho (t)]$

I jämvikt har man $[H,\rho ]=0$ , och de tillåtna densitetsmatriserna är $f(H)$ . Den kanoniska ensemblen har $\rho =\exp(-H/T)/Z$ där $Z =\operatörsnamn {Tr} \exp(-H/T)$ .

För 2-tillståndssystemet kan vi skriva $H=-\gamma \hbar B\sigma _{3}$ . Här $\gamma$ det gyromagnetiska förhållandet . Därför ${\displaystyle Z=2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))} ,$ och

$\rho (B,T)={\frac {1}{2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}}{\begin{pmatrix}\exp(-\gamma \hbar B/ (2T))&0\\0&\exp(\gamma \hbar B/(2T))\end{pmatrix}}.$

Från vilken

$\langle J_{x}\rangle =\langle J_{y}\rangle =0,\langle J_{z}\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\tanh(\gamma \ hbar B/(2T)).$

Förklaring av para- och diamagnetism med hjälp av störningsteori

I närvaro av ett enhetligt yttre magnetfält $B$ längs z-riktningen ändras atomens Hamiltonian med

$\Delta H=\alpha J_{z}B+\beta B^{2}\summa _{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2}),$

där $\alpha ,\beta$ är positiva reella tal som är oberoende av vilken atom vi tittar på men beror på elektronens massa och laddning. $i$ motsvarar individuella elektroner i atomen.

Vi tillämpar andra ordningens störningsteori på denna situation. Detta motiveras av det faktum att även för de högsta för närvarande uppnåbara fältstyrkorna, är skiftningarna i energinivån på grund av $\Delta H$ ganska små i förhållande till atomära excitationsenergier. Degenerering av den ursprungliga Hamiltonian hanteras genom att välja en bas som diagonaliserar $\Delta H$ i de degenererade delrummen. Låt $|n\rangle$ vara en sådan grund för atomens tillstånd (snarare elektronerna i atomen). Låt $\Delta E_{n}$ vara förändringen i energi i $|n\rangle$ . Så vi får

$\Delta E_{n}=\langle n|\Delta H|n\rangle +\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|\Delta H|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}.$

I vårt fall kan vi ignorera $B^{3}$ och termer av högre ordning. Vi får

$\Delta E_{n}=\alpha B\langle n|J_{z}|n\rangle +\alpha ^{2}B^{2}\summa _{m,E_{m}\neq E_ {n}}{\frac {|\langle n|J_{z}|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}+\beta B^{2}\summa _ {i}\langle n|x_{i}^{2}+y_{i}^{2}|n\rangle .$

När det gäller diamagnetiskt material är de två första termerna frånvarande eftersom de inte har någon rörelsemängd i sitt marktillstånd. När det gäller paramagnetiskt material bidrar alla tre termerna.

Lägga till spin-spin-interaktion i Hamiltonian: Ising-modellen

Hittills har vi antagit att atomerna inte interagerar med varandra. Även om detta är ett rimligt antagande i fallet med diamagnetiska och paramagnetiska ämnen, misslyckas detta antagande i fallet med ferromagnetism, där atomens spinn försöker komma i linje med varandra i den utsträckning som den termiska agitationen tillåter. I det här fallet måste vi överväga Hamiltonian för atomens ensemble. En sådan Hamiltonian kommer att innehålla alla termer som beskrivs ovan för individuella atomer och termer som motsvarar interaktionen mellan atomparen. Ising-modellen är en av de enklaste approximationerna av sådan parvis interaktion.

$H_{\text{par}}=-{\frac {1}{2} }\summa _{R,R'}S(R)\cdot S(R')J(RR')$

Här är de två atomerna i ett par vid $R,R'$ . Deras interaktion $J$ bestäms av deras avståndsvektor $RR'$ . För att förenkla beräkningen antas det ofta att interaktion sker endast mellan närliggande atomer och $J$ är en konstant. Effekten av sådan interaktion uppskattas ofta som ett medelfält och, i vårt fall, Weiss-fältet.

Ändring av Curies lag på grund av Weiss-fältet

Curie-Weiss-lagen är en anpassad version av Curies lag, som för ett paramagnetiskt material kan skrivas i SI-enheter enligt följande, under antagande av $\chi \ll 1$ :

$$\chi ={\frac {M}{H}}\approx {\frac {M\mu _{0}}{B}}={\frac {C}{T}}.$$

₀ Här är μ permeabiliteten för fritt utrymme ; M magnetiseringen ( magnetiskt moment per volymenhet), ₀ B = μ H är magnetfältet och C den materialspecifika Curie - konstanten :

$$C={\frac {\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}}{ 3k_{\rm {B}}}}Ng^{2}J(J+1),$$

där k _B är Boltzmanns konstant , N antalet magnetiska atomer (eller molekyler) per volymenhet, g Landé g -faktor , μ _B Bohr magneton , J rörelsemängdskvantumtalet .

För Curie-Weiss lagen är det totala magnetfältet B + λM där λ är Weiss molekylära fältkonstant och sedan

$$\chi ={\frac {M\mu _{0}}{B}}\högerpil {\frac {M\mu _{0} }{B+\lambda M}}={\frac {C}{T}}$$

som kan omarrangeras för att få

$$\chi ={\frac {C}{T-{\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}}$$

som är Curie-Weiss-lagen

$$\chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}$$

där Curie-temperaturen T _C är

$$T_{\rm {C}}={\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}$$

Se även

• Curies lag
• Paramagnetism
• Pierre Curie
• Pierre-Ernest Weiss
• Utbytesinteraktion

Anteckningar

•   Kittel, Charles (1996). Introduktion till fasta tillståndets fysik (7:e upplagan). New York [ua]: Wiley. ISBN 978-0471111818 .
•   Hall, HE Hook, JR (1994). Fasta tillståndets fysik (2:a upplagan). Chichester: Wiley. ISBN 0471928054 .
•   Levy, Robert A (1968). Principer för fasta tillståndets fysik . Akademisk press. ISBN 978-0124457508 .
• Neil Ashcroft , David Mermin . Fasta tillståndets fysik .
• http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf

externa länkar

•   Magnetism: Models and Mechanisms in E. Pavarini, E. Koch och U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6