Cirkel av en sfär

Liten cirkel av en sfär.

{\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}} ,

där C är sfärens centrum, A är mitten av den lilla cirkeln , och B är en punkt i gränsen för den lilla cirkeln. Därför, genom att känna till sfärens radie och avståndet från den lilla cirkelns plan till C, kan radien för den lilla cirkeln bestämmas med hjälp av Pythagoras sats.

En cirkel av en sfär är en cirkel som ligger på en sfär . En sådan cirkel kan bildas som skärningspunkten mellan en sfär och ett plan , eller av två sfärer. Cirklar av en sfär är de sfäriska geometrianalogerna av generaliserade cirklar i den euklidiska rymden . En cirkel på en sfär vars plan passerar genom sfärens centrum kallas en storcirkel , analogt med en euklidisk rät linje ; annars är det en liten cirkel , analogt med en euklidisk cirkel. Cirklar i en sfär har en radie mindre än eller lika med sfärens radie, med likhet när cirkeln är en storcirkel.

En cirkel av en sfär kan också karakteriseras som platsen för punkter på sfären på enhetligt avstånd från en given mittpunkt, eller som en sfärisk kurva med konstant krökning .

På jorden

I det geografiska koordinatsystemet på en jordglob är latitudernas paralleller små cirklar, med ekvatorn den enda storcirkeln . Däremot bildar alla longitudmeridianer , parade med sin motsatta meridian på den andra halvklotet , stora cirklar .

Relaterad terminologi

Diametern på sfären som passerar genom mitten av cirkeln kallas dess axel och ändpunkterna för denna diameter kallas dess poler . En cirkel av en sfär kan också definieras som en uppsättning punkter på ett givet vinkelavstånd från en given pol.

Sfär-plan skärning

När skärningspunkten mellan en sfär och ett plan inte är tom eller en enda punkt är det en cirkel. Detta kan ses på följande sätt:

Låt S vara en sfär med centrum O , P ett plan som skär S . Rita OE vinkelrätt mot P och möte P vid E . Låt A och B vara två olika punkter i skärningspunkten. Då AOE och BOE rätvinkliga trianglar med en gemensam sida, OE , och hypotenusorna AO och BO lika. Därför är de återstående sidorna AE och BE lika. Detta bevisar att alla punkter i skärningspunkten är på samma avstånd från punkten E i planet P , med andra ord ligger alla punkter i skärningspunkten på en cirkel C med centrum E . Detta bevisar att skärningspunkten mellan P och S finns i C . Observera att OE är cirkelns axel.

Betrakta nu en punkt D i cirkeln C . Eftersom C ligger i P , så gör D det också . Å andra sidan är trianglarna AOE och DOE rätvinkliga trianglar med en gemensam sida, OE , och benen EA och ED lika. Därför är hypotenuserna AO och DO lika med och lika med radien för S , så att D ligger i S . Detta bevisar att C finns i skärningspunkten mellan P och S.

Som en följd av detta, på en sfär finns det exakt en cirkel som kan dras genom tre givna punkter.

Beviset kan utökas för att visa att punkterna på en cirkel alla är ett gemensamt vinkelavstånd från en av dess poler.

Jämför även koniska sektioner som kan ge ovaler .

Sfär-sfär skärningspunkt

För att visa att en icke-trivial skärningspunkt mellan två sfärer är en cirkel, antag (utan förlust av allmänhet) att en sfär (med radie $R$ ) är centrerad vid origo. Punkter på denna sfär tillfredsställer

x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.

Också utan förlust av generalitet, antag att den andra sfären, med radien $r$ , är centrerad i en punkt på den positiva x-axeln, på avstånd $a$ från origo. Dess poäng tillfredsställer

(xa)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.

Sfärernas skärningspunkt är den uppsättning punkter som uppfyller båda ekvationerna. Att subtrahera ekvationerna ger

{\begin{aligned}(xa)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2} -R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}

I singularfallet $a=0$ är sfärerna koncentriska. Det finns två möjligheter: om ${\displaystyle R=r} ,$ sammanfaller sfärerna, och skärningspunkten är hela sfären; om $R\not =r$ , är sfärerna disjunkta och skärningspunkten är tom. När a är icke-noll, ligger skärningspunkten i ett vertikalt plan med denna x-koordinat, som kan skära båda sfärerna, vara tangent till båda sfärerna eller utanför båda sfärerna. Resultatet följer av föregående bevis för sfär-plan skärningar.

Se även

Hobbs, CA (1921). Solid geometri . GH Kent. s. 397 ff.

Vidare läsning

Sykes, M.; Comstock, CE (1922). Solid geometri . Rand McNally. s. 81 ff.