Linje-plan korsning

De tre möjliga plan-linjeförhållandena i tre dimensioner. (Visas i varje fall endast en del av planet, som sträcker sig oändligt långt.)

I analytisk geometri kan skärningspunkten mellan en linje och ett plan i det tredimensionella rummet vara den tomma uppsättningen , en punkt eller en linje. Det är hela linjen om den linjen är inbäddad i planet, och är den tomma mängden om linjen är parallell med planet men utanför det. Annars skär linjen genom planet vid en enda punkt.

Att särskilja dessa fall och bestämma ekvationer för punkten och linjen i de senare fallen har användning i datorgrafik , rörelseplanering och kollisionsdetektering .

Algebraisk form

I vektornotation kan ett plan uttryckas som uppsättningen punkter $\mathbf {p}$ för vilka

$(\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

där $\mathbf {n}$ är en normalvektor till planet och $\mathbf {p_{0}}$ är en punkt på planet. (Notationen $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ anger punktprodukten av vektorerna $\mathbf {a}$ och $\mathbf {b}$ .)

Vektorekvationen för en linje är

$\mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R}$

där $\mathbf {l}$ är en vektor i linjens riktning, $\mathbf {l_{0}}$ är en punkt på linjen och $d$ är en skalär i domänen för reella tal . Att ersätta ekvationen för linjen med ekvationen för planet ger

$((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \ mathbf {n} =0.$

Att expandera ger

$(\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_ {0}} )\cdot \mathbf {n} =0.$

Och att lösa för $d$ ger

$d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.$

Om $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0$ så är linjen och planet parallella. Det kommer att finnas två fall: om $(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$ då raden finns i planet, det vill säga linjen skär planet vid varje punkt på linjen. Annars har linjen och planet ingen skärning.

Om $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0$ finns det en enda skärningspunkt. Värdet på $d$ kan beräknas och skärningspunkten, $\mathbf {p}$ , ges av

$\mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d$ .

Parametrisk form

Skärningen mellan linje och plan.

En linje beskrivs av alla punkter som är en given riktning från en punkt. En allmän punkt på en linje som går genom punkterna ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a$ och ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})} kan$ representeras som

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,$

där ${\displaystyle \mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}} är$ vektorn som pekar från $\mathbf {l} _{a}$ till $\mathbf {l} _{b}$ .

På liknande sätt en allmän punkt på ett plan som bestäms av triangeln definierad av punkterna $\mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{ 0})$ , $\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ och $\mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ kan representeras som

$\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v, \quad u,v\in \mathbb {R} ,$

där $\mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$ är vektorn som pekar från $\mathbf {p} _{0}$ till $\mathbf {p} _{1}$ och $\mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$ är vektorn som pekar från $\mathbf {p} _{0}$ till $\mathbf {p} _{ 2}$ .

Punkten där linjen skär planet beskrivs därför genom att sätta punkten på linjen lika med punkten på planet, vilket ger den parametriska ekvationen:

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _ {02}v.$

Detta kan skrivas om som

$\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _$

som kan uttryckas i matrisform som

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _$

där vektorerna skrivs som kolumnvektorer.

Detta ger ett system av linjära ekvationer som kan lösas för $t$ , $u$ och $v$ . Om lösningen uppfyller villkoret $t\in [0,1],$ , så är skärningspunkten på linjesegmentet mellan $\mathbf {l} _{a }$ och ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}} ,$ annars är det någon annanstans på linjen. På samma sätt, om lösningen uppfyller $u,v\in [0,1],$ , så är skärningspunkten i parallellogrammet som bildas av punkten $\mathbf { p} _{0}$ och vektorer $\mathbf {p} _{01}$ och $\mathbf {p} _{02}$ . Om lösningen dessutom uppfyller $(u+v)\leq 1$ , så ligger skärningspunkten i triangeln som bildas av de tre punkterna $\mathbf {p} _{0 }$ , $\mathbf {p} _{1}$ och $\mathbf {p} _{2}$ .

Matrisens determinant kan beräknas som

$\det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})= -\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).$

Om determinanten är noll, så finns det ingen unik lösning; linjen är antingen i planet eller parallell med det.

Om det finns en unik lösning (determinanten är inte 0), kan den hittas genom att invertera matrisen och ordna om:

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\ börja{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix }\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},$

som expanderar till

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}) }^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\ mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a} -\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}$

och sedan till

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\ mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01 }\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02} \times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab }\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},$

vilket ger lösningarna:

$}}}$

$frac {{(\mathbf {p} _{01}\ gånger \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\ mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}$

$u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}- \mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}$

$v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf { p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.$

Skärningspunkten är då lika med

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t$

Används

I datorgrafiks strålspårningsmetoden kan en yta representeras som en uppsättning plandelar . Skärningen av en ljusstråle med varje plan används för att producera en bild av ytan. I visionbaserad 3D-rekonstruktion , ett underfält av datorseende, mäts djupvärden vanligen med så kallad trianguleringsmetod, som finner skärningspunkten mellan ljusplan och stråle som reflekteras mot kameran.

Algoritmen kan generaliseras för att täcka skärningspunkten med andra plana figurer, i synnerhet skärningen av en polyeder med en linje .

Se även

• Plücker-koordinater#Plane-line meet beräknar skärningspunkten när linjen uttrycks med Plücker-koordinater.
• Plan-plan skärning

externa länkar

• Korsningar av linjer, segment och plan (2D & 3D) från GeomAlgorithms.com