Cirkel av antilikhet
I inversiv geometri är cirkeln av antisimilitude (även känd som mid-circle ) av två cirklar , α och β , en referenscirkel för vilken α och β är inverser av varandra. Om α och β är icke-korsande eller tangerande, existerar en enda cirkel av antilikhet; om α och β skär varandra i två punkter, finns det två cirklar av antilikhet. När α och β är kongruenta , urartar cirkeln av antisimilitude till en symmetrilinje genom vilken α och β är reflektioner av varandra.
Egenskaper
Om de två cirklarna α och β korsar varandra, är ytterligare två cirklar γ och δ var och en tangent till både α och β , och dessutom tangerar γ och δ varandra, så ligger tangenspunkten mellan γ och δ nödvändigtvis på en av de två cirklarna av antilikhet. Om α och β är osammanhängande och icke-koncentriska, bildar tangenspunkten för γ och δ återigen två cirklar, men endast en av dessa är den (unika) cirkeln av antilikhet. Om α och β är tangenter eller koncentriska, så degenererar lokaliseringen av tangenspunkter till en enda cirkel, som återigen är cirkeln av antilikhet.
Om de två cirklarna α och β korsar varandra, så passerar deras två cirklar av antilikhet var och en genom båda korsningspunkterna och delar vinklarna som bildas av bågarna av α och β när de korsar varandra.
Om en cirkel γ korsar cirklarna α och β i lika vinklar, så korsas γ ortogonalt av en av cirklarna av antilikhet för α och β ; om γ korsar α och β i kompletterande vinklar , korsas den ortogonalt av den andra cirkeln av antisimilitude, och om γ är ortogonal mot både α och β så är den också ortogonal mot båda cirklarna av antisimilitud.
För tre cirklar
Antag att det, för tre cirklar α , β , och γ , finns en cirkel av antilikhet för paret ( α , β ) som korsar en andra cirkel av antilikhet för paret ( β , γ ). Sedan finns det en tredje cirkel av antisimiltud för det tredje paret ( α , γ ) så att de tre cirklarna av antisimilitud korsar varandra i två trippel skärningspunkter. Sammanlagt kan högst åtta trippelövergångspunkter genereras på detta sätt, för det finns två sätt att välja var och en av de två första cirklarna och två punkter där de två valda cirklarna korsar. Dessa åtta eller färre trippelkorsningspunkter är centra för inversioner som tar alla tre cirklarna α , β , och γ för att bli lika cirklar. För tre cirklar som är ömsesidigt externt tangentiella, korsar de (unika) cirklarna av antilikhet för varje par varandra igen i 120° vinklar i två trippel skärningspunkter som är de isodynamiska punkterna i triangeln som bildas av de tre tangenspunkterna .
Se även
- Inversiv geometri
- Begränsningspunkt (geometri) , mitten av en inversion som omvandlar två cirklar till koncentrisk position
- Radikal axel