Cartans lemma (potentiella teori)

Ej att förväxla med Cartans teorem eller Cartans lemma .

I potentialteorin är en gren av matematiken , Cartans lemma , uppkallad efter Henri Cartan , en gräns för måttet och komplexiteten hos den uppsättning som en logaritmisk Newtonsk potential är liten.

Uttalande av lemma

Följande uttalande finns i Levins bok.

Låt μ vara ett ändligt positivt Borelmått på det komplexa planet C med μ ( C ) = n . Låt u ( z ) vara den logaritmiska potentialen för μ :

$u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {C} }\log |z-\zeta |\,d\mu (\ zeta )$

Givet H ∈ (0, 1) finns det skivor med radier r _i sådana att

$\sum _{i}r_{i}<5H$

och

$u(z)\geq {\frac {n}{2\pi }}\log {\frac {H}{e}}$

för alla z utanför föreningen av dessa skivor.