Cartans lemma

I matematik hänvisar Cartans lemma till ett antal resultat uppkallade efter antingen Élie Cartan eller hans son Henri Cartan :

• I yttre algebra : Antag att v ₁ , ..., v _p är linjärt oberoende element i ett vektorrum V och w ₁ , ..., w _p är sådana att

$v_{1}\wedge w_{1}+\cdots +v_{p}\wedge w_{p}=0$

i Λ V . Sedan finns det skalärer h _ij = h _ji så att

$w_{i}=\sum _{j=1}^{p}h_{ij}v_{j}.$

• I flera komplexa variabler : Låt a ₁ < a ₂ < a ₃ < a ₄ och b ₁ < b ₂ och definiera rektanglar i det komplexa planet C med

${\begin{aligned}K_{1}&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}| a_{2}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}'&=\{z_{1}=x_{1 }+iy_{1}|a_{1}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}''&=\{ z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{4},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\end{aligned }}$

så att $K_{1}=K_{1}'\cap K_{1}''$ . Låt K ₂ , ..., K _n enkelt vara anslutna domäner i C och låt

${\begin{aligned}K&=K_{1}\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K'&=K_{1}' \times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K''&=K_{1}''\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\end{aligned} }$

så att återigen $K=K'\cap K''$ . Antag att F ( z ) är en komplex analytisk matrisvärderad funktion på en rektangel K i Cn så att F ( z ) är en ^inverterbar matris för varje z i K. Sedan finns det analytiska funktioner $F'$ i $K'$ och $F''$ i $K''$ så att

$F(z)=F'(z)F''(z)$

i K .

• I potentialteorin , ett resultat som uppskattar Hausdorff-måttet för den mängd där en logaritmisk Newtonsk potential är liten. Se Cartans lemma (potentialteori) .