Campbells teorem (sannolikhet)

Den här artikeln handlar om slumpmässiga punktprocesser. För annan användning, se Campbells sats (geometri) .

I sannolikhetsteori och statistik är Campbells sats eller Campbell-Hardy-satsen antingen en viss ekvation eller uppsättning resultat som relaterar till förväntan på en funktion summerad över en punktprocess till en integral som involverar medelmåttet för punktprocessen, vilket möjliggör beräkningen av förväntat värde och variansen av den slumpmässiga summan . En version av satsen, även känd som Campbells formel , innebär en integralekvation för den tidigare nämnda summan över en generell punktprocess, och inte nödvändigtvis en Poisson-punktprocess. Det finns också ekvationer som involverar momentmått och faktoriella momentmått som anses vara versioner av Campbells formel. Alla dessa resultat används inom sannolikhet och statistik med särskild betydelse i teorin om punktprocesser och köteori samt de relaterade områdena stokastisk geometri , kontinuumperkolationsteori och rumslig statistik .

Ett annat resultat med namnet Campbells sats är specifikt för Poisson-punktprocessen och ger en metod för att beräkna moment samt Laplace-funktionalen för en Poissonpunktprocess.

Namnet på båda satserna härrör från arbetet av Norman R. Campbell om termioniskt brus, även känt som skottbrus , i vakuumrör , som delvis inspirerades av Ernest Rutherfords och Hans Geigers arbete med alfapartikeldetektering , där Poisson-punkten process uppstod som en lösning på en familj av differentialekvationer av Harry Bateman . I Campbells arbete presenterar han momenten och genererande funktioner för den slumpmässiga summan av en Poisson-process på den verkliga linjen, men påpekar att det huvudsakliga matematiska argumentet berodde på GH Hardy , som har inspirerat resultatet till att ibland kallas Campbell-Hardy sats .

Bakgrund

För en punktprocess $N$ definierad på d -dimensionell euklidisk rymd ${\textbf {R}}^{d}$ erbjuder Campbells teorem ett sätt att beräkna förväntningar på en verkligt värderad funktion $f$ definieras också på ${\textbf {R}}^{d}$ och summeras över $N$ , nämligen:

$\operatörsnamn {E} \left[\summa _{x\in N}f(x)\right],$

där $E$ betecknar förväntan och set notation används så att $N$ betraktas som en slumpmässig mängd (se Point process notation ) . För en punktprocess $N$ relaterar Campbells teorem ovanstående förväntan med intensitetsmåttet $\Lambda$ . I förhållande till en Borel-uppsättning B definieras intensitetsmåttet för ${\displaystyle N} som:$

$\Lambda (B)=\operatörsnamn {E} [N(B)],$

där taktnotationen används så att $N$ anses vara ett slumpmässigt räknande mått . Kvantiteten $\Lambda (B)$ kan tolkas som det genomsnittliga antalet punkter i punktprocessen $N$ som finns i mängden B .

Första definition: allmän punktprocess

En version av Campbells teorem är för en allmän (inte nödvändigtvis enkel) punktprocess $N$ med intensitetsmått:

$\Lambda (B)=\operatörsnamn {E} [N(B)],$

är känd som Campbells formel eller Campbells teorem , som ger en metod för att beräkna förväntningar på summor av mätbara funktioner $\displaystyle f}$ med intervall på den reella linjen . Mer specifikt, för en punktprocess $N$ och en mätbar funktion $f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}$ , summan av $f$ över punktprocessen ges av ekvationen:

$E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\ int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),$

där om en sida av ekvationen är ändlig, så är den andra sidan det också. Denna ekvation är i huvudsak en tillämpning av Fubinis teorem och den gäller för en bred klass av punktprocesser, enkla eller inte. Beroende på integralnotationen kan denna integral också skrivas som:

$\operatörsnamn {E} \left[\summa _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,$

Om intensitetsmåttet $\Lambda$ för en punktprocess $N$ har en densitet ${\displaystyle \lambda (x)},$ så blir Campbells formel:

$\operatörsnamn {E} \left[\summa _{x\in N}f(x) \right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx$

Stationär punktprocess

För en stationär punktprocess $N$ med konstant densitet $\lambda >0} reduceras$ displaystyle Campbells teorem eller formel till en volymintegral:

$\operatörsnamn {E} \left[\summa _{x\in N}f(x)\right] =\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx$

Denna ekvation gäller naturligtvis för de homogena Poissonpunktsprocesserna, som är ett exempel på en stationär stokastisk process .

Ansökningar: Slumpmässiga summor

Campbells teorem för allmänna punktprocesser ger en metod för att beräkna förväntan på en funktion av en punkt (av en punktprocess) summerad över alla punkter i punktprocessen. Dessa slumpmässiga summor över punkt-processer har tillämpningar inom många områden där de används som matematiska modeller.

Skottljud

Campbell studerade ursprungligen ett problem med slumpmässiga summor som motiverades av att förstå termioniskt brus i ventiler, vilket också är känt som shot-noise. Följaktligen är studiet av slumpmässiga summor av funktioner över punktprocesser känt som skottbrus i sannolikhet och i synnerhet punktprocessteori.

Störningar i trådlösa nätverk

I trådlös nätverkskommunikation, när en sändare försöker skicka en signal till en mottagare, kan alla andra sändare i nätverket betraktas som störningar, vilket utgör ett liknande problem som brus gör i traditionella trådbundna telekommunikationsnät när det gäller förmågan att skicka data baserat på informationsteori. Om positioneringen av de störande sändarna antas utgöra någon punktprocess, kan skottbrus användas för att modellera summan av deras störande signaler, vilket har lett till stokastiska geometrimodeller av trådlösa nätverk.

Generaliseringar

För allmänna punktprocesser finns andra mer generella versioner av Campbells sats beroende på arten av den slumpmässiga summan och i synnerhet funktionen som summeras över punktprocessen.

Funktioner av flera punkter

Om funktionen är en funktion av mer än en punkt i punktprocessen behövs momentmåtten eller faktoriella momentmåtten för punktprocessen, som kan jämföras med moment och faktorial av stokastiska variabler. Vilken typ av mått som behövs beror på om punkterna i punktprocessen i den slumpmässiga summan behöver vara distinkta eller kan upprepas.

Upprepande punkter

Momentmått används när poäng tillåts upprepas.

Distinkta punkter

Faktoriella momentmått används när punkter inte tillåts upprepas, varför punkter är distinkta.

Punkternas funktioner och punktprocessen

För allmänna punktprocesser är Campbells sats endast för summor av funktioner för en enda punkt i punktprocessen. För att beräkna summan av en funktion av en enda punkt såväl som hela punktprocessen krävs generaliserade Campbells satser med hjälp av Palm-fördelningen av punktprocessen, som är baserad på sannolikhetsgrenen som kallas Palmteori eller Palmkalkyl .

Andra definitionen: Poissonpunktsprocess

En annan version av Campbells teorem säger att för en Poisson-punktsprocess $N$ med intensitetsmått $\Lambda$ och en mätbar funktion $f:{\textbf {R}} ^{d}\rightarrow {\textbf {R}}$ , den slumpmässiga summan

$S=\summa _{x\in N}f(x)$

är absolut konvergent med sannolikhet ett om och endast om integralen

$\int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .$

Förutsatt att denna integral är ändlig, så hävdar satsen vidare att för varje komplext värde $\theta$ ekvationen

$E(e^{\theta S})=\exp \left(\ int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),$

gäller om integralen på höger sida konvergerar , vilket är fallet för rent imaginära $\theta$ . Dessutom,

$E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx ),$

och om denna integral konvergerar, då

$\operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f( x)^{2}\Lambda (dx),$

där ${\text{Var}}(S)$ anger variansen av den slumpmässiga summan $S$ .

följer några förväntningsresultat för Poisson-punktprocessen , inklusive dess Laplace-funktionella .

Användning: Laplace funktionell

För en Poissonpunktsprocess $N$ med intensitetsmått $\Lambda$ , är Laplace -funktionalen en konsekvens av ovanstående version av Campbells sats och ges av:

${\ displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},}$

vilket för det homogena fallet är:

${\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{ -sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.$