Buffons nudel

I geometrisk sannolikhet är problemet med Buffons nudel en variant av det välkända problemet med Buffons nål , uppkallat efter Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon som levde på 1700-talet. Detta förhållningssätt till problemet publicerades av Joseph-Émile Barbier 1860.

Buffons nål

Huvudartikel: Buffons nål

Anta att det finns oändligt många parallella linjer med lika mellanrum och att vi slumpmässigt skulle kasta en nål vars längd är mindre än eller lika med avståndet mellan intilliggande linjer. Vad är sannolikheten att nålen kommer att ligga över en linje vid landning?

För att lösa detta problem, låt $\ell$ vara längden på nålen och $D$ vara avståndet mellan två intilliggande linjer. Låt sedan $\theta$ vara den spetsiga vinkeln som nålen gör med horisontalplanet, och låt $x$ vara avståndet från nålens mitt till närmaste linje.

Nålen ligger tvärs över närmaste linje om och endast om $x\leq {\frac {\ell \cos \theta }{2}}$ . Vi ser detta tillstånd från den räta triangeln som bildas av nålen, den närmaste linjen och linjen med längd $x$ när nålen ligger tvärs över den närmaste linjen.

Nu antar vi att värdena för $x,\theta$ bestäms slumpmässigt när de landar, där $0<x<{\frac {D}{2}}$ , eftersom $0<\ell <D$ , och $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ . Exempelutrymmet för $x,\theta$ är alltså en rektangel med sidolängderna ${\frac {D}{2}}$ och π $\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ .

Sannolikheten för händelsen att nålen ligger tvärs över den närmaste linjen är den del av provrummet som skär $displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\cos \ theta }$ \ . Eftersom $0<\ell <D$ , ges arean för denna skärningspunkt av

${\text{Area (händelse)}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ell }{2}}\cos \theta \,d\theta ={\ frac {\ell }{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\ell }{2}}\sin 0={\frac {\ell }{2}}.$

Nu är provutrymmets yta

${\text{Area (provutrymme)}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4} }.$

Därför är sannolikheten $P$ för händelsen

$P={\frac {\text{Area (händelse)}}{\text{Area (provutrymme)}}}={\frac {\ell }{2}}\cdot {\frac {4} {D\pi }}={\frac {2\ell }{\pi D}}.$

Böjer nålen

Formeln förblir densamma även när nålen är böjd på något sätt (med förbehåll för begränsningen att den måste ligga i ett plan), vilket gör den till en "nudel" - en styv plan kurva . Vi släpper antagandet att nudelns längd inte är mer än avståndet mellan de parallella linjerna.

Sannolikhetsfördelningen av antalet korsningar beror på nudelns form, men det förväntade antalet korsningar gör det inte ; det beror bara på nudelns längd L och avståndet D mellan de parallella linjerna (observera att en krökt nudel kan korsa en enda linje flera gånger).

Detta faktum kan bevisas enligt följande (se Klain och Rota). Anta först att nudeln är bitvis linjär , dvs består av n raka bitar. Låt X _i vara antalet gånger den i :te biten korsar en av de parallella linjerna. Dessa slumpvariabler är inte oberoende , men förväntningarna är fortfarande additiva på grund av förväntningarnas linjäritet :

$E(X_{1}+\cdots +X_{n})=E(X_{1})+\cdots +E(X_{n}).$

När det gäller en krökt nudel som gränsen för en sekvens av bitvis linjära nudlar, drar vi slutsatsen att det förväntade antalet korsningar per kast är proportionellt mot längden; det är några konstanta gånger längden L . Då är problemet att hitta konstanten. Om nudeln är en cirkel med diameter lika med avståndet D mellan de parallella linjerna, då L = π D och antalet korsningar är exakt 2, med sannolikhet 1. Så när L = π D är det förväntade antalet korsningar 2. Därför måste det förväntade antalet korsningar vara 2 L /( π D ).

Barbiers teorem

Om man utökar detta argument något, om $C$ är en konvex kompakt delmängd av $\mathbb {R} ^{2}$ , då är det förväntade antalet linjer som skär $C$ lika med hälften av det förväntade antalet linjer som skär omkretsen av $C$ , vilket är ${\frac {|\partial C|}{\pi D}}$ .

I synnerhet, om nudeln är en stängd kurva med konstant bredd D, är antalet korsningar också exakt 2. Detta betyder att omkretsen har längden ${\displaystyle \pi D} ,$ samma som en cirkel, vilket bevisar Barbiers teorem .

Anteckningar

•    Ramaley, JF (1969). "Buffons nudelproblem" (PDF) . American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America. 76 (8 oktober 1969): 916-918. doi : 10.2307/2317945 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2317945 .
•   Daniel A. Klain; Gian-Carlo Rota (1997). Introduktion till geometrisk sannolikhet . Cambridge University Press . sid. 1 . ISBN 978-0-521-59654-1 .

externa länkar

• Interaktiv matematiksida på Cut-the-Knots webbplats
• Interaktiv Wolfram CDF-demonstration