Barbiers teorem

Dessa Reuleaux-polygoner har konstant bredd, och alla har samma bredd; därför har de enligt Barbiers teorem lika stora omkretsar.

Inom geometri , säger Barbiers sats att varje kurva med konstant bredd har omkretsen π gånger dess bredd, oavsett dess exakta form. Detta teorem publicerades första gången av Joseph-Émile Barbier 1860.

Exempel

De mest välbekanta exemplen på kurvor med konstant bredd är cirkeln och Reuleaux-triangeln . För en cirkel är bredden densamma som diametern ; en cirkel med bredd w har omkrets π w . En Reuleaux-triangel med bredd w består av tre cirkelbågar med radien w . Var och en av dessa bågar har en central vinkel π /3, så omkretsen av Reuleaux-triangeln med bredd w är lika med halva omkretsen av en cirkel med radien w och är därför lika med π w . En liknande analys av andra enkla exempel som Reuleaux-polygoner ger samma svar.

Bevis

Ett bevis på satsen använder egenskaperna hos Minkowski summor . Om K är en kropp med konstant bredd w , så är Minkowskisumman av K och dess 180° rotation en skiva med radien w och omkretsen 2 π w . Minkowskisumman verkar dock linjärt på omkretsen av konvexa kroppar, så omkretsen av K måste vara halva omkretsen av denna skiva, vilket är π w som satsen anger.

Alternativt följer satsen omedelbart från Crofton-formeln i integralgeometri, enligt vilken längden på en kurva är lika med måttet på uppsättningen linjer som korsar kurvan, multiplicerat med deras antal korsningar. Alla två kurvor som har samma konstanta bredd korsas av uppsättningar linjer med samma mått, och därför har de samma längd. Historiskt sett härledde Crofton sin formel senare än, och oberoende av, Barbiers teorem.

Ett elementärt probabilistiskt bevis för satsen kan hittas på Buffons nudel .

Högre dimensioner

Analogen till Barbiers teorem för ytor med konstant bredd är falsk. Speciellt enhetssfären ytarea ${\displaystyle 4\pi \approx 12.566} ,$ medan rotationsytan på en Reuleaux-triangel med samma konstanta bredd har ytarea $8\pi -{\tfrac {4}{3}}\pi ^{2}\approx 11.973$ .

Istället generaliserar Barbiers teorem till kroppar med konstant ljusstyrka , tredimensionella konvexa uppsättningar för vilka varje tvådimensionell projektion har samma yta. Dessa har alla samma yta som en sfär med samma projicerade yta.

Och i allmänhet, om $S$ är en konvex delmängd av ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,$ för vilken varje ( n −1)-dimensionell projektion har arean av enhetskulan i $\mathbb {R} ^{n-1}$ , då är ytarean för $S$ lika med enhetssfären i $\mathbb {R} ^{n}$ . Detta följer av den allmänna formen av Crofton-formeln .

Se även

• Blaschke–Lebesgues teorem och isoperimetrisk olikhet , som begränsar områdena för kurvor med konstant bredd