Bragg plan

Stråldiagram av Von Laues formulering

Inom fysiken är ett Bragg-plan ett plan i det reciproka rummet som delar en reciprok gittervektor, $\scriptstyle \mathbf {K}$ , i rät vinkel. Bragg-planet definieras som en del av Von Laue-villkoret för diffraktionstoppar i röntgendiffraktionskristallografi .

Med tanke på det intilliggande diagrammet definieras den ankommande röntgenplanvågen av :

e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}

Där $\scriptstyle \mathbf {k}$ är den infallande vågvektorn som ges av:

\mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}

där $\scriptstyle \lambda$ är våglängden för den infallande fotonen . Medan Bragg-formuleringen förutsätter ett unikt val av direkta gitterplan och spegelreflektion av infallande röntgenstrålar, förutsätter Von Laue-formeln endast monokromatiskt ljus och att varje spridningscentrum fungerar som en källa för sekundära vågor som beskrivs av Huygens- principen . Varje spridd våg bidrar till en ny plan våg som ges av:

\mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }

Villkoret för konstruktiv interferens i riktningen $\scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }$ är att vägskillnaden mellan fotonerna är en heltalsmultipel (m) av deras våglängd. Vi vet då att för konstruktiv störning har vi:

|\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\ prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda

där $\scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z}$ . Genom att multiplicera ovanstående med $\scriptstyle {\frac {2\pi }{\lambda }}$ formulerar vi villkoret i termer av vågvektorerna, $\scriptstyle \mathbf {k}$ och $\scriptstyle \mathbf {k^{\prime }}$ :

\mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m

Bragg-planet i blått, med dess tillhörande ömsesidiga gittervektor K.

Tänk nu på att en kristall är en rad spridningscentra, var och en vid en punkt i Bravais-gittret . Vi kan ställa in ett av spridningscentrumen som ursprunget för en array. Eftersom gitterpunkterna är förskjutna av Bravais gittervektorer, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} } ,$ interfererar spridda vågor konstruktivt när ovanstående villkor gäller samtidigt för alla värden på $\scriptstyle \mathbf {R}$ som är Bravais gittervektorer, blir villkoret då:

\mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m

Ett motsvarande uttalande (se matematisk beskrivning av det ömsesidiga gittret ) är att säga att:

e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }= 1

Genom att jämföra denna ekvation med definitionen av en reciprok gittervektor ser vi att konstruktiv interferens uppstår om $\scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\ mathbf {k^{\prime }}$ är en vektor av det reciproka gittret. Vi märker att $\scriptstyle \mathbf {k}$ och $\scriptstyle \mathbf {k^{\prime }}$ har samma storlek, vi kan omformulera Von Laue-formuleringen som kräver att spetsen av den infallande vågvektorn, $\scriptstyle \mathbf {k}$ , måste ligga i planet som är en vinkelrät bisektrik av den reciproka gittervektorn, $\scriptstyle \mathbf {K}$ . Detta ömsesidiga rymdplan är Bragg-planet .

Se även