Bony–Brezis teorem

Inom matematiken ger Bony–Brezis-satsen , på grund av de franska matematikerna Jean-Michel Bony och Haïm Brezis , nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för att en sluten delmängd av ett grenrör ska vara invariant under flödet som definieras av ett vektorfält , nämligen vid varje punkt av den slutna uppsättningen måste vektorfältet ha icke-positiv inre produkt med någon yttre normalvektor till uppsättningen. En vektor är en yttre normal vid en punkt i den slutna mängden om det finns en reellt värderad kontinuerligt differentierbar funktion maximerad lokalt vid punkten med den vektorn som dess derivata vid punkten. Om den slutna delmängden är en jämn delmängd med gräns, anger villkoret att vektorfältet inte ska peka utanför delmängden vid gränspunkter. Generaliseringen till icke-släta delmängder är viktig i teorin om partiella differentialekvationer .

Teoremet hade faktiskt tidigare upptäckts av Mitio Nagumo 1942 och är även känt som Nagumo-satsen .

Påstående

Låt F vara en sluten delmängd av ett C ² - grenrör M och låt X vara ett vektorfält på M som är Lipschitz kontinuerligt . Följande villkor är likvärdiga:

• Varje integralkurva för X som börjar i F förblir i F .
• ( X ( m ), v ) ≤ 0 för varje yttre normalvektor v i en punkt m i F .

Bevis

Efter Hörmander (1983) , för att bevisa att det första villkoret innebär det andra, låt c ( t ) vara en integralkurva med c (0) = x i F och dc/dt = X ( c ). Låt g ha ett lokalt maximum på F vid x . Sedan g ( c ( t )) ≤ g ( c (0)) för t liten och positiv. Differentiering innebär detta att g '( x )⋅ X ( x ) ≤ 0.

För att bevisa den omvända implikationen, eftersom resultatet är lokalt, räcker det att kontrollera det i R ⁿ . I så fall uppfyller X lokalt ett Lipschitz-villkor

$\displaystyle {|X(a)-X(b)|\leq C|ab|.}$

Om F är stängt har avståndsfunktionen D ( x ) = d ( x , F ) ² följande differentieringsegenskap:

$\displaystyle {D(x+h)=D(x)+\min _{z}2h\cdot (xz)+o(|h|),}$

där minimum tas över de närmaste punkterna z till x i F .

För att kontrollera detta, låt

$\displaystyle {f_{\varepsilon }(h)=\min _{z}2h\cdot (xz), }$

där minimum tas över z i F så att d ( x , z ) ≤ d ( x , F ) + ε.

₀ Eftersom f _ε är homogen i h och ökar jämnt till f på vilken sfär som helst,

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(h)\geq f_{\varepsilon }(h)\geq f_{0}(h)-C(\varepsilon )|h|,}} med$

konstant C ( ε) tenderar till 0 som ε tenderar till 0.

Denna differentieringsegenskap följer av detta eftersom

$\displaystyle {D(x+h)\leq |x+hz|^{2}\leq |zx|^{2}+2h\cdot (xz)+|h|^{2}=D (x)+f_{0}(h)+|h|^{2}}$

och liknande om | h | ≤ ε

$\displaystyle {D(x+h)\geq D(x)+f_{\varepsilon }(h)+|h|^{2}.}$

Differentieringsegenskapen innebär det

$\displaystyle {\lim {\delta \downarrow 0}{D(c(t+\delta ))-D(c(t)) \over \delta }=2\min _{z}X(c(t))\cdot (c( t)-z),}$

minimeras över de närmaste punkterna z till c ( t ). För alla sådana z

$\displaystyle {2X(c(t))\cdot (c(t)-z)=2X(z)\cdot (c(t)-z)-2(X(z)-X(c( t)))\cdot (c(t)-z).}$

Sedan −| y − c ( t )| ² har ett lokalt maximum på F vid y = z , c ( t ) − z är en yttre normalvektor vid z . Så den första termen på höger sida är icke-negativ. Lipschitz-villkoret för X innebär att den andra termen ovan begränsas av 2 C ⋅ D ( c ( t )). Således derivatan från höger om

$\displaystyle {e^{-2Ct}D(c(t))}$

är icke-positiv, så det är en icke-ökande funktion av t . Alltså om c (0) ligger i F , D ( c (0))=0 och därmed D ( c ( t )) = 0 för t > 0, dvs c ( t ) ligger i F för t > 0.

Litteratur

• Nagumo, Mitio (1942), "Über die lage der integralkurven gewöhnlicher differentialgleichungen" , Nippon Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 3 Ki , 24 : 551–559 (på tyska)
•   Yorke, James A. (1967), "Invarians för vanliga differentialekvationer", Theory of Computing , 1 (4): 353–372, doi : 10.1007/BF01695169 , S2CID 5973578
• Bony, Jean-Michel (1969), " Principe du Maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénerés" ( PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 19 : 277–304/204 / 80. aif.319 (på franska)
• Brezis, Haim (1970), "On a characterization of flow-invariant sets", Comm. Ren appl. Matematik. , 223 (2): 261–263, doi : 10.1002/cpa.3160230211
•   Redheffer, RM (1972), "The Theorems of Bony and Brezis on Flow-Invariant Sets", The American Mathematical Monthly , 79 (7): 740–747, doi : 10.2307/2316263 , JSTOR 2316263
• Crandall, Michael G. (1972), "A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance", Proceedings of the American Mathematical Society , 36 ( 1): 151–155, doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0306586
•   Volkmann, Peter (1974), "Über die positive Invarianz einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachschen Raumes bezüglich der Differentialgleichung u'= f (t, u)" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1976 (285): 59–65, doi : 10.1515/crll.1976.285.59 , S2CID 117740430 (på tyska)
•   Hörmander, Lars (1983), Analysis of Partial Differential Operators I , Springer-Verlag, s. 300–305, ISBN 3-540-12104-8 , Teorem 8.5.11
• Blanchini, Franco (1999), "Survey paper: Set invariance in control", Automatica , 35 (11): 1747–1767, doi : 10.1016/S0005-1098(99)00113-2
•   Walter, Wolfgang (1998). Vanliga differentialekvationer . Springer. ISBN 978-0387984599 .