Boggios formel

Inom det matematiska området för potentialteorin är Boggios formel en explicit formel för Greenens funktion för det polyharmoniska Dirichlet-problemet på kulan med radie 1. Den upptäcktes av den italienske matematikern Tommaso Boggio .

Det polyharmoniska problemet är att hitta en funktion u uppfyller

$(-\Delta )^{m}u(x)=f(x)$

där m är ett positivt heltal, och $(-\Delta )$ representerar Laplace-operatorn . Greenens funktion är en funktion som tillfredsställer

$(-\Delta )^{m}G(x,y)=\delta (xy)$

där $\delta$ representerar Dirac deltafördelningen och dessutom är lika med 0 upp till ordningen m-1 vid gränsen.

Boggio fann att Greens funktion på bollen i n rumsliga dimensioner är

$G_{m,n}(x,y)=C_{m,n}|xy|^{2m-n}\int _{1 }^{\frac {\left||x|y-{\frac {x}{|x|}}\right|}{|xy|}}(v^{2}-1)^{m-1 }v^{1-n}dv$

Konstanten $C_{m,n}$ ges av

$C_{m,n}={\frac {1}{ne_{n}4^{m-1 }((m-1)!)^{2}}},$ där $e_{n}={\frac {\pi ^{\frac { n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}$

Källor

•   Boggio, Tomas (1905), "Sulle funzioni di Green d'ordine m " , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 20, s. 97–135, doi : 10.1007/BF03014033 , S2CID 123576345
•   Gazzola, Filippo; Grunau, Hans-Christoph; Sweers, Guido (2010), Polyharmonic Boundary Value Problems (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1991, Berlin: Springer, ISBN 978-3-642-12244-6