Bogdanov–Takens bifurkation

Bifurkationsdiagram med parametrarna β ₁ ​​, β ₂ = (från övre vänster till nedre höger): (−1,1), (1/4,−1), (1,0), (0,0), ( −6/25,−1), (0,1).

Inom bifurkationsteori , ett fält inom matematik , är en Bogdanov–Takens bifurkation ett väl studerat exempel på en bifurkation med samdimension två, vilket innebär att två parametrar måste varieras för att bifurkationen ska inträffa. Den är uppkallad efter Rifkat Bogdanov och Floris Takens , som oberoende och samtidigt beskrev denna bifurkation.

Ett system y' = f ( y ) genomgår en Bogdanov-Takens-bifurkation om det har en fixpunkt och lineariseringen av f runt den punkten har ett dubbelt egenvärde vid noll (förutsatt att vissa tekniska icke-degenerationsvillkor är uppfyllda).

Tre codimension-one bifurkationer förekommer i närheten: en sadel-nod bifurkation , en Andronov-Hopf bifurkation och en homoklin bifurkation . Alla associerade bifurkationskurvor möts vid Bogdanov-Takens bifurkation.

Den normala formen av Bogdanov-Takens-bifurkationen är

${\begin{aligned}y_{1}'&=y_{2},\\y_{2}'&=\beta _{1}+\beta _{2}y_{1}+y_{ 1}^{2}\pm y_{1}y_{2}.\end{aligned}}$

Det finns två kodimensioner-tre degenererade Takens-Bogdanov-bifurkationer, även kända som Dumortier-Roussarie-Sotomayor-bifurkationer.

• Bogdanov, R. "Bifurkationer av en gränscykel för en familj av vektorfält på planet." Välj matematik. Sovjet 1, 373–388, 1981.
• Kuznetsov, YA Elements of Applied Bifurcation Theory . New York: Springer-Verlag, 1995.
• Takens, F. "Forced Oscillations and Bifurcations." Comm. Matematik. Inst. Rijksuniv. Utrecht 2, 1–111, 1974.
• Dumortier F., Roussarie R., Sotomayor J. och Zoladek H., Bifurcations of Planar Vector Fields , Lecture Notes in Math. vol. 1480, 1–164, Springer-Verlag (1991).

externa länkar

• Guckenheimer, John ; Yuri A. Kuznetsov (2007). "Bogdanov–Takens Bifurcation" . Scholarpedia . Hämtad 2007-03-09 .