Blandat randvillkor

Grön: Neumann gränsvillkor; lila: Dirichlet gränsvillkor.

Inom matematik definierar ett blandat gränsvillkor för en partiell differentialekvation ett gränsvärdesproblem där lösningen av den givna ekvationen krävs för att uppfylla olika gränsvillkor på disjunkta delar av gränsen för domänen där villkoret anges. Just i ett blandat gränsvärdeproblem krävs lösningen för att tillfredsställa ett Dirichlet- eller ett Neumann-gränsvillkor på ett ömsesidigt uteslutande sätt på osammanhängande delar av gränsen.

Till exempel, givet en lösning $u$ till en partiell differentialekvation på en domän $Ω$ med gräns $\partialΩ$ , sägs den uppfylla ett blandat gränsvillkor om, bestående $\partialΩ$ av två disjunkta delar, $Γ 1$ och $Γ 2$ , så att $\partialΩ = Γ 1 \cup Γ 2$ , $u$ verifierar följande ekvationer:

\left.u\right|_{\Gamma _{1}}=u_{0}

och

\left.{\frac {\partial u}{\partial n}}\right|_{\Gamma _{2}}=g,

där $u 0$ och $g$ är givna funktioner definierade på de delarna av gränsen.

Det blandade randvillkoret skiljer sig från Robin-gränsvillkoret genom att det senare kräver en linjär kombination , möjligen med punktvis variabla koefficienter, av Dirichlet- och Neumann-gränsvärdevillkoren för att vara uppfyllda på hela gränsen för en given domän.

Historisk anteckning

M. Wirtinger, dans une conversation privée, a attiré mon attention sur le probleme suivant: déterminer une fonction $u$ vérifiant l'équation de Laplace dans un certain domaine ( $D$ ) étant donné, sur une partie ( $S$ ) de la frontière, les valeurs périphériques de la fonction demandée et, sur le reste ( $S'$ ) de la frontière du domaine considéré, celles de la dérivée suivant la normale . Je me propose de faire connaitre une solution très générale de cet intéressant problème.

— Stanisław Zaremba , ( Zaremba 1910 , §1, s. 313).

Det första gränsvärdesproblemet som uppfyller ett blandat gränsvillkor löstes av Stanisław Zaremba för Laplace-ekvationen : enligt honom själv var det Wilhelm Wirtinger som föreslog honom att studera detta problem.

Se även

Anteckningar

Fichera, Gaetano (1949), "Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti, relativi all'equazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti", Annali della Scuola Normale Superiore , Serie III (på italienska) , 1 (1947) (1-4): 75-100, MR 0035370 , Zbl 0035.18603 . I artikeln " Existential analysis of the solutions of mixed boundary value problems, related to second order elliptic equation and systems of equations, selfadjoint" ( engelsk översättning av titeln), ger Gaetano Fichera de första bevisen på existens och unika teorem för de blandade gränsvärdesproblem som involverar en allmän andra ordningens självadjoint elliptiska operatorer i ganska generella domäner .
Guru, Bhag S.; Hızıroğlu, Hüseyin R. (2004), Electromagnetic field theory fundamentals (2nd ed.), Cambridge, Storbritannien – New York: Cambridge University Press , sid. 593, ISBN 0-521-83016-8 .
Miranda, Carlo (1955), Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – Neue Folge (på italienska), vol. Heft 2 (1:a uppl.), Berlin – Göttingen – New York: Springer Verlag , s. VIII+222, MR 0087853 , Zbl 0065.08503 .
Miranda, Carlo (1970) [1955], Partiella differentialekvationer av elliptisk typ , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – 2 Folge, vol. Band 2 (2nd Revised ed.), Berlin – Heidelberg – New York: Springer Verlag , s. XII+370, ISBN 978-3-540-04804-6 , MR 0284700 , Zbl 0198.14101 , översatt från italienskan av Zane C. Motteler.
Zaremba, S. (1910), "Sur un problème mixte relatif à l' équation de Laplace", Bulletin international de l'Académie des Sciences de Cracovie. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles , Serie A: Sciences mathématiques (på franska): 313–344, JFM 41.0854.12 , översatt på ryska som Zaremba, S. (1946), Об одной смешанной зашанной зашанной зашанной зашаннач ю Лапласа , Uspekhi Matemacheskikh Nauk (på ryska), 1 (3-4(13-14)): 125–146, MR 0025032 , Zbl 0061.23010 .