Biokemiska systemekvation

Ekvationen för biokemiska system är en kompakt ekvation av icke-linjära differentialekvationer för att beskriva en kinetisk modell för alla nätverk av kopplade biokemiska reaktioner och transportprocesser.

Ekvationen uttrycks i följande form:

${\dfrac {\bf {dx}}{dt}}={\bf {N}}{\bf {v}}({\ bf {x}}(p),p)$

Notationen för den beroende variabeln x varierar mellan författare. Till exempel använder vissa författare s , som indikerar art. x används här för att matcha tillståndsrymdnotationen som används i kontrollteorin men båda notationerna accepteras.

${\bf {N}}$ är stökiometrimatrisen som är en $m$ med $n$ matris av stökiometrikoefficient. $m$ är antalet arter och $n$ antalet biokemiska reaktioner.

$v$ är en n-dimensionell kolumnvektor med reaktionshastigheter, och $p$ är en p-dimensionell kolumnvektor med parametrar.

Exempel

Med tanke på det biokemiska nätverket:

$X_{o}{\stackrel {v_{1}}{\longrightarrow }}\ x_{1}{\ stackrel {v_{2}}{\longrightarrow }}\ x_{2}{\stackrel {v_{3}}{\longrightarrow }}\ x_{3}{\stackrel {v_{4}}{\longrightarrow }} \ X_{1}$

där $X_{o}$ och $X_{1}$ är fasta arter för att säkerställa att systemet är öppet. Systemekvationen kan skrivas som:

\mathbf {N} ={\begin{bmatrix}1&-1&{\phantom {+}}0&{\phantom { +}}0\\0&{\phantom {+}}1&-1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1&-1\\\end {bmatrix}},\

\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3} \\v_{4}\\\end{bmatrix}}

Så att:

${\begin{bmatrix}{ \dfrac {dx_{1}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{2}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{3}}{dt}}\\ [4pt]{\dfrac {dx_{4}}{dt}}\\[4pt]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+ }}0\\0&{\phantom {+}}1&-1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1&-1\\\end{ bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\\\end{ bmatrix}}$

Elementen i hastighetsvektorn kommer att vara hastighetsekvationer som är funktioner av en eller flera arter $x_{i}$ och parametrar, sid. I exemplet kan dessa vara enkla masshandlingshastighetslagar som $v_{2}=k_{2}x_{1}$ där $k_{2}$ är hastighetskonstantens parameter. De särskilda lagar som väljs kommer att bero på det specifika systemet som studeras. Med antagande av massverkanskinetik kan ovanstående ekvation skrivas i fullständig form som:

${\begin{bmatrix}{ \dfrac {dx_{1}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{2}}{dt}}\\[4pt]{\dfrac {dx_{3}}{dt}}\\ [4pt]{\dfrac {dx_{4}}{dt}}\\[4pt]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+ }}0\\0&{\phantom {+}}1&-1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1&-1\\\end{ bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}k_{1}X_{o}\\k_{2}x_{1}\ \k_{3}x_{2}\\k_{4}x_{3}\\\end{bmatrix}}$

Analys

Systemekvationen kan analyseras genom att titta på ekvationens linjära respons runt steady-state med avseende på parametern ${\bf {p}}$ . Vid steady-state sätts systemekvationen till noll och ges av:

$0={\bf {N}}{\bf {v}}({\bf {x}}({\bf {p}}),{\ bf {p}})$

Att differentiera ekvationen med avseende på ${\bf {p}}$ och omarrangera ger:

${\dfrac {d{\bf {x}}}{d{\bf {p}}}}=-\ vänster({\bf {N}}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}\right)^{-1}{\bf {N}}{\frac { \partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {p} }}$

Denna härledning antar att stökiometrimatrisen har full rang. Om så inte är fallet kommer det omvända inte att existera.

Exempel

Tänk till exempel på samma problem från föregående avsnitt av en linjär kedja. Matrisen ${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {x} }}$ är den oskalade elasticitetsmatrisen :

{\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1 }}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial x_{m}}}\end{bmatrix}}.

I detta specifika problem finns det 3 arter ( $m=3$ ) och 4 reaktionssteg ( $n=4$ ), elasticitetsmatrisen är därför a $m\times n=3\ {\mbox{by}}\ 4$ matris. Ett antal poster i matrisen kommer dock att vara noll. Till exempel $\partial v_{1}/\partial x_{3}$ att vara noll eftersom $x_{3}$ inte har någon effekt på $v_ {1}$ . Matrisen kommer därför att innehålla följande poster:

{\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}&0&0\\{\dfrac {\partial v_{2} }{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}&0\\0&{\dfrac {\partial v_{3}}{\partial x_ {2}}}&{\dfrac {\partial v_{3}}{\partial x_{3}}}\\0&0&{\dfrac {\partial v_{4}}{\partial x_{3}}}\ \\end{bmatrix}}.

Parametermatrisen beror på vilka parametrar som beaktas. I metabolisk kontrollanalys är en vanlig uppsättning parametrar enzymaktiviteterna. För argumentets skull kan vi likställa hastighetskonstanterna med enzymaktivitetsparametrarna. Vi antar också att varje enzym, $k_{i}$ , bara kan påverka sitt eget steg och inget annat. Matrisen ${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial \mathbf {p} }}$ är den oskalade elasticitetsmatrisen med avseende på parametrarna. Eftersom det finns 4 reaktionssteg och 4 motsvarande parametrar kommer matrisen att vara en 4 gånger 4 matris. Eftersom varje parameter bara påverkar en reaktion, kommer matrisen att vara en diagonal matris:

{\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial k_{1}}}&0&0&0\\0&{\dfrac {\partial v_{2 }}{\partial k_{2}}}&0&0\\0&0&{\dfrac {\partial v_{3}}{\partial k_{3}}}&0\\0&0&&{\dfrac {\partial v_{3}} {\partial k_{4}}}\\\end{bmatrix}}.

Eftersom det finns 3 arter och 4 reaktioner blir den resulterande matrisen ${\frac {d{\bf {x}}}{d{\bf {p}}}}$ en 3 gånger 4 matris

${\frac {d{\bf {x}}}{d{\bf {p}}}}={\begin{bmatrix}{\frac {{\mathcal {E}}_{k_ {1}}^{1}({\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{ 3}^{4})+{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4})}{{\mathcal {E}}_{ 1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^ {4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4} -{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}&- {\frac {{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}{\mathcal {E}}_{k_{2}}^{ 2}}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3} -{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\ mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E} }_{3}^{4}}}&{\frac {{\mathcal {E}}_{2}^{2}{\mathcal {E}}_{3}^{4}{\mathcal { E}}_{k_{3}}^{3}}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E }}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{ 2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}&-{\frac {{\mathcal {E}}_{2}^{2}{\mathcal {E} }_{3}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{4}}^{4}}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E} }_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}} _{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2} ^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}\\{\frac {{\mathcal {E}}_ {2}^{1}{\mathcal {E}}_{k_{1}}^{1}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_ {3}^{4})}{{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3 }^{4}-{\mathcal {E}}_{1}^{1}({\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^ {3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4 })}}&{\frac {{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{k_{2}}^{2}({\mathcal {E}} _{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_ {2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{ 1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{ 1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}&{\frac {{\mathcal {E}}_{3} ^{4}{\mathcal {E}}_{k_{3}}^{3}({\mathcal {E}}_{1}^{1}-{\mathcal {E}}_{2} ^{1})}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^ {3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3 }{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}&{\frac {{\mathcal {E}}_{3}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{4}}^{ 4}({\mathcal {E}}_{2}^{1}-{\mathcal {E}}_{1}^{1})}{{\mathcal {E}}_{1}^{ 1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4}) +{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}\\{\frac { {\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{k_{1}}^{1}}{ {\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E} }_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3 }^{4}}}&{\frac {{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_ {k_{2}}^{2}}{{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_ {3}^{4}-{\mathcal {E}}_{1}^{1}({\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_{3 }^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^ {4})}}&{\frac {{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}{\mathcal {E}}_{ k_{3}}^{3}}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{2}({\mathcal {E}}_ {3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2 }^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3 }{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}&-{\frac {{\mathcal {E}}_{k_{4}}^{4}({\mathcal {E}} _{1}^{1}({\mathcal {E}}_{2}^{2}-{\mathcal {E}}_{2}^{3})+{\mathcal {E}}_ {2}^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3})}{{\mathcal {E}}_{1}^{1}{\mathcal {E}}_{2 }^{2}({\mathcal {E}}_{3}^{3}-{\mathcal {E}}_{3}^{4})+{\mathcal {E}}_{1} ^{1}{\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}-{\mathcal {E}}_{2}^{1} {\mathcal {E}}_{2}^{3}{\mathcal {E}}_{3}^{4}}}\\\end{bmatrix}}$

Varje uttryck i matrisen beskriver hur en given parameter påverkar steady-state-koncentrationen av en given art.

Antaganden

Ekvationen av biokemiska system gör två viktiga antaganden:

Arter finns i en väl omrörd reaktor, så det finns inga rumsliga gradienter.
Artkoncentrationerna är tillräckligt höga så att de stokastiska effekterna är försumbara

Se även