Bidomänmodell

Bidomänmodellen är en matematisk modell för att definiera hjärtats elektriska aktivitet . Den består av ett kontinuum (volymgenomsnitt) tillvägagångssätt där hjärtmikrostrukturen definieras i form av muskelfibrer grupperade i ark, vilket skapar en komplex tredimensionell struktur med anisotropiska egenskaper. Sedan, för att definiera den elektriska aktiviteten, övervägs två interpenetrerande domäner, vilka är de intracellulära och extracellulära domänerna, som representerar utrymmet inuti cellerna respektive området mellan dem.

Bidomänmodellen föreslogs först av Schmitt 1969 innan den formulerades matematiskt i slutet av 1970-talet.

Eftersom det är en kontinuummodell, snarare än att beskriva varje cell individuellt, representerar den de genomsnittliga egenskaperna och beteendet hos en grupp av celler organiserade i komplex struktur. Således resulterar modellen i att vara en komplex sådan och kan ses som en generalisering av kabelteorin till högre dimensioner och kommer att definiera de så kallade bidomänekvationerna .

Många av de intressanta egenskaperna hos bidomänmodellen härrör från tillståndet med ojämna anisotropiförhållanden. Den elektriska ledningsförmågan i anisotropa vävnader är inte unik i alla riktningar, men den är olika i parallell och vinkelrät riktning med avseende på fibern. Dessutom, i vävnader med ojämna anisotropiförhållanden, är förhållandet mellan konduktiviteter parallella och vinkelräta mot fibrerna olika i de intracellulära och extracellulära utrymmena. Till exempel i hjärtvävnad är anisotropiförhållandet i det intracellulära utrymmet cirka 10:1, medan det i det extracellulära utrymmet är cirka 5:2. Matematiskt innebär ojämna anisotropiförhållanden att effekten av anisotropi inte kan avlägsnas genom en förändring av avståndsskalan i en riktning. Istället har anisotropin ett mer djupgående inflytande på det elektriska beteendet.

Tre exempel på inverkan av ojämna anisotropiförhållanden är

• fördelningen av transmembranpotential under unipolär stimulering av ett ark av hjärtvävnad,
• magnetfältet som alstras av en aktionspotentialvågfront som fortplantar sig genom hjärtvävnaden ,
• effekten av fiberkrökning på transmembranpotentialfördelningen under en elektrisk stöt.

Formulering

Bidomän domän

Bidomänmodelldomän, som betraktar den intracellulära och extracellulära regionen som en unik fysisk region som representerar hjärtat, och en extramyokardiell region som representerar bålen eller ett vätskebad.

Bidomändomänen representeras huvudsakligen av två huvudregioner: hjärtcellerna, som kallas intracellulär domän, och utrymmet som omger dem, som kallas extracellulär domän. Dessutom övervägs vanligtvis en annan region, kallad extramyokardregion. De intracellulära och extracellulära domänerna, som är åtskilda av cellmembranet , anses vara ett unikt fysiskt utrymme som representerar hjärtat ( ${\displaystyle \mathbb {H} } )$ , medan den extramyokardiska domänen är ett unikt fysiskt utrymme intill dem ( $\mathbb {T}$ ). Den extramyokardiala regionen kan betraktas som ett vätskebad, särskilt när man vill simulera experimentella förhållanden, eller som en mänsklig överkropp för att simulera fysiologiska tillstånd. Gränsen för de två huvudsakliga fysiska domänerna som definieras är viktiga för att lösa bidomänmodellen. Här betecknas hjärtgränsen som $\partial \mathbb {H}$ medan torsodomängränsen är $\partial \mathbb {T} .$

Okända och parametrar

De okända i bidomänmodellen är tre, den intracellulära potentialen $v_{i}$ , den extracellulära potentialen $v_{e}$ och transmembranpotentialen $v$ , som är definierad som skillnaden mellan potentialen över cellmembranet $v=v_{i}-v_{e}$ .

Dessutom måste några viktiga parametrar tas i beaktande, särskilt den intracellulära konduktivitetstensormatrisen $\mathbf {\Sigma } _{i}$ , den extracellulära konduktivitetstensormatrisen $\mathbf {\Sigma } _{e}$ . Transmembranströmmen flyter mellan de intracellulära och extracellulära regionerna och den beskrivs delvis av motsvarande jonström över membranet per ytenhet I- $\displaystyle I_{\text{ion}}}$ . Dessutom måste membrankapacitansen per ytenhet $C_{m}$ och yta till volymförhållandet för cellmembranet $\chi$ beaktas för att härleda bidomänmodellformuleringen, vilket görs i följande avsnitt .

Standardformulering

Bidomänmodellen definieras genom två partiella differentialekvationer (PDE), varav den första är en reaktionsdiffusionsekvation i termer av transmembranpotentialen , medan den andra beräknar den extracellulära potentialen med utgångspunkt från en given transmembranpotentialfördelning.

Bidomänmodellen kan därför formuleras enligt följande:

$${\begin{alignedat}{2}&\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right )+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t }}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}\\[1ex]&\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\ mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v\right)+I_{s_ {2}}\end{aligned}}$$

där $I_{s_{1}}$ och $I_{s_{2}}$ kan definieras som applicerade externa stimulusströmmar.

Jonströmsekvation

Jonströmmen representeras vanligtvis av en jonmodell genom ett system av vanliga differentialekvationer (ODEs). Matematiskt kan man skriva ${\displaystyle I_{\text{ion}}=I_{\text{ion}}(v,\mathbf {w} )} där$ w $\displaystyle \mathbf {w} }$ kallas jonisk variabel. Sedan, i allmänhet, för alla $t>0$ läser systemet

$${\begin{cases}{\dfrac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}} =\mathbf {F} (v,\mathbf {w} )&{\text{in }}\mathbb {H} \\\mathbf {w} (t=0)=\mathbf {w} _{0} &{\text{i }}\mathbb {H} \end{cases}}$$

Olika jonmodeller har föreslagits:

• fenomenologiska modeller, som är de enklaste och används för att reproducera makroskopiskt beteende hos cellen.
• fysiologiska modeller, som tar hänsyn till både makroskopiskt beteende och cellfysiologi med en ganska detaljerad beskrivning av den viktigaste jonströmmen.

Modell av en extramyokardial region

I vissa fall övervägs en extramyokardiell region. Detta innebär tillägg till bidomänmodellen av en ekvation som beskriver den potentiella fortplantningen inuti den extramyokardiella domänen.

Vanligtvis är denna ekvation en enkel generaliserad Laplace-ekvation av typ

$$-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0})=0\quad \mathbf {x} \in \ mathbb {T}$$

där $v_{0}$ är potentialen i den extramyokardiala regionen och $\mathbf {\Sigma } _{0}$ är motsvarande konduktivitetstensor.

Dessutom beaktas ett isolerat domänantagande, vilket innebär att följande randvillkor läggs till

$$(\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0})\cdot \mathbf {n} _{0}=0\quad \ mathbf {x} \in \partial \mathbb {T} ,$$

$\mathbf {n} _{0}$ är den normala enheten riktad utanför den extramyokardiala domänen.

Om den extramyokardiala regionen är den mänskliga överkroppen, ger denna modell upphov till det främre problemet med elektrokardiologi .

Härledning

Bidomänekvationerna härleds från Maxwells ekvationer för elektromagnetismen, med tanke på vissa förenklingar.

Det första antagandet är att den intracellulära strömmen endast kan flyta mellan de intracellulära och extracellulära regionerna, medan de intracellulära och extramyokardiala regionerna kan kommunicera mellan dem, så att strömmen kan flöda in i och från de extramyokardiala regionerna men endast i det extracellulära utrymmet.

Med hjälp av Ohms lag och ett kvasi-statiskt antagande kan gradienten för ett skalärt potentialfält $\varphi$ beskriva ett elektriskt fält $\mathbf {E}$ , vilket betyder att

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi .$$

Sedan, om $J$ representerar strömtätheten för det elektriska fältet $\mathbf {E}$ , kan två ekvationer erhållas

$${\begin{alignedat}{2}J_{i}&=-\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\\J_{e}&=-\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}.\end{aligned}}$$

där subskriptet $i$ och $e$ representerar de intracellulära respektive extracellulära kvantiteterna.

Det andra antagandet är att hjärtat är isolerat så att strömmen som lämnar en region behöver flöda in i den andra. Då måste strömtätheten i var och en av de intracellulära och extracellulära domänerna vara lika stora men motsatta i tecken, och kan definieras som produkten av förhållandet mellan yta och volym av cellmembranet och den transmembrana jonströmtätheten I $\ displaystyle I_{m}}$ per ytenhet, vilket betyder att

$$-\nabla \cdot J_{i}=\nabla \cdot J_{e}=\chi I_{m}.$$

Genom att kombinera de tidigare antagandena erhålls bevarandet av strömtätheter, nämligen

${\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})&=\chi I_{m}\\\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})&=-\chi I_{ m}\end{alignedat}}$

 

 

 

 

()

från vilket, summera de två ekvationerna

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma} _{e}\nabla v_{e}).$$

Denna ekvation anger exakt att alla strömmar som lämnar en domän måste komma in i den andra.

Härifrån är det lätt att hitta den andra ekvationen för biddomänmodellen genom att subtrahera $\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})$ från båda sidor. Faktiskt,

$${\ct display \b {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v_{e})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$$

och att veta att den transmebrala potentialen definieras som $v=v_{i}-v_{e}$

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)=-\nabla \cdot ((\mathbf {\Sigma} _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e })\nabla v_{e}).$$

Sedan, genom att känna till den transmebrala potentialen, kan man återvinna den extracellulära potentialen.

Sedan kan strömmen som flyter över cellmembranet modelleras med kabelekvationen ,

$I_{m}=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{ \text{ion}}\right),$

 

 

 

 

()

Att kombinera ekvationerna ( 1 ) och ( 2 ) ger

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{ion}\höger).$$

Slutligen, addera och subtrahera $\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})$ till vänster och ordna om $v=v_{i}-v_{e}$ , kan man få den första ekvationen för biddomänmodellen

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right),$$

som beskriver utvecklingen av transmembranpotentialen i tiden.

Den slutliga formuleringen som beskrivs i avsnittet om standardformulering erhålls genom en generalisering, med hänsyn till eventuell extern stimulans som kan ges genom de externa applicerade strömmarna $I_{s_{1}}$ och $I_ {s_{2}}$ .

Gränsförhållanden

För att lösa modellen behövs randvillkor. De mer klassiska randvillkoren är följande, formulerade av Tung.

Först och främst, som tidigare nämnts i härledningssektionen, kan det inte förekomma något strömflöde mellan de intracellulära och extramyokardiala domänerna. Detta kan matematiskt beskrivas som

$$(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})\cdot \mathbf {n} =0\quad \mathbf {x } \in \partial \mathbb {H}$$

där $\mathbf {n}$ är vektorn som representerar den yttre enheten normal till hjärtats myokardyta. Eftersom den intracellulära potentialen inte explicit presenteras i bidomänformuleringen, beskrivs detta tillstånd vanligtvis i termer av den transmembrana och extracellulära potentialen, med vetskap om att $v=v_{i}-v_{e}$ , nämligen

$$(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =-(\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v_{e})\cdot \mathbf { n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

För den extracellulära potentialen, om myokardregionen presenteras, övervägs en balans i flödet mellan de extracellulära och extramyokardiala regionerna

$$\left(\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} _{e}=-\left(\mathbf {\Sigma } _{0 }\nabla v_{0}\right)\cdot \mathbf {n} _{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

Här beaktas normalvektorerna från båda domänernas perspektiv, så det negativa tecknet är nödvändigt. Dessutom är en perfekt överföring av potentialen på hjärtgränsen nödvändig, vilket ger

$$v_{e}=v_{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

I stället, om hjärtat betraktas som isolerat, vilket innebär att ingen myokardregion presenteras, är ett möjligt gränsvillkor för det extracellulära problemet

$$\left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)\cdot \mathbf {n} =-\left((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\ Sigma } _{e})\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

Reduktion till monodomänmodell

Genom att anta lika anisotropiförhållanden för de intra- och extracellulära domänerna, dvs $\mathbf {\Sigma } _{i}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{e}$ för viss skalär $\lambda$ , modellen kan reduceras till en enda ekvation, kallad monodomänekvation

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } \nabla v)=\chi \left(C_ {m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s}$$

där den enda variabeln nu är transmembranpotentialen, och konduktivitetstensorn $\mathbf {\Sigma }$ är en kombination av $\mathbf {\Sigma } _{i}$ och $\mathbf {\Sigma } _{e}.$

Formulering med randvillkor i en isolerad domän

Om hjärtat betraktas som en isolerad vävnad, vilket innebär att ingen ström kan flyta utanför det, lyder den slutliga formuleringen med randvillkor

$${\begin{cases}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \ cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}+I_{ \mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v \right)+I_{s_{2}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e}) \cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \\[1ex]\left[\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e })+\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right]\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \end{fall} }$$

Numerisk lösning

Det finns olika möjliga tekniker för att lösa bidomänekvationerna. Mellan dem kan man hitta scheman för ändliga skillnader , scheman för ändliga element och även scheman för ändliga volymer . Särskilda överväganden kan göras för den numeriska lösningen av dessa ekvationer, på grund av den höga tids- och rymdupplösning som krävs för numerisk konvergens.

Se även

• Monodomän modell
• Framåt problem med elektrokardiologi

externa länkar

• Scholarpedia-artikel om bidomänmodellen