Monodomän modell

Monodomänmodellen är en reduktion av bidomänmodellen för den elektriska utbredningen i myokardvävnad . Minskningen kommer från att anta att de intra- och extracellulära domänerna har lika anisotropiförhållanden. Även om den inte är lika fysiologiskt korrekt som bidomänmodellen är den fortfarande tillräcklig i vissa fall och har minskad komplexitet.

Formulering

Eftersom $\mathbb {T}$ är modellens domängräns, kan monodomänmodellen formuleras enligt följande

{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \ vänster(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion} }\right)\quad \quad {\text{in }}\mathbb {T} ,

där $\mathbf {\Sigma } _{i}$ är den intracellulära konduktivitetstensorn, $v$ är transmembranpotentialen, $I_{\text{ion}}$ är transmembranjonström per ytenhet, $C_{m}$ är membrankapacitansen per ytenhet, $\lambda$ är det intra- till extracellulära konduktivitetsförhållandet och $\chi$ är membranets yta per volymenhet (vävnad).

Härledning

Monodomänmodellen kan enkelt härledas från bidomänmodellen . Denna sista kan skrivas som

{\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right )\\\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma} _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\end{aligned}}

Om man antar lika anisotropiförhållanden, dvs. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{e}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{i}},$ kan den andra ekvationen skrivas som

\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=-{\frac {1}{1+\lambda }}\nabla \cdot \left (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right).

Att sedan infoga detta i den första bidomänekvationen ger den unika ekvationen för monodomänmodellen

{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m} {\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right).

Gränsförhållanden

Till skillnad från bidomänmodellen är vanligtvis monodomänmodellen utrustad med ett isoltad randvillkor, vilket innebär att det antas att det inte finns någon ström som kan flyta från eller till domänen (oftast hjärtat). Matematiskt görs detta genom att införa ett transmembranpotentialflöde på noll , dvs.

(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }} \partial \mathbb {T}

där $\mathbf {n}$ är enhetens yttre normal för domänen och $\partial \mathbb {T}$ är domängränsen.

Se även