Beltramis sats

Inom det matematiska området för differentialgeometri bestämmer vilken ( pseudo- ) Riemannisk metrik som helst en viss klass av banor som kallas geodesik . Beltramis sats , uppkallad efter den italienske matematikern Eugenio Beltrami , är ett resultat av det omvända problemet med att bestämma en (pseudo-)Riemannisk metrik från dess geodesik.

Det är icke-trivialt att se att det på alla Riemannska grenrör med konstant krökning finns släta koordinater i förhållande till vilka all icke-konstant geodetik visas som raka linjer. I det negativa krökningsfallet med hyperbolisk geometri motiveras detta av Beltrami–Klein-modellen . I det positiva krökningsfallet med sfärisk geometri motiveras det av den gnomoniska projektionen . På språket för projektiv differentialgeometri visar dessa diagram att varje Riemann-grenrör med konstant krökning är lokalt projektivt platt. Mer generellt är alla pseudo-riemannska grenrör med konstant krökning lokalt projektivt platt.

Beltramis sats hävdar det omvända: varje anslutet pseudo-Riemann-grenrör som är lokalt projektivt platt måste ha konstant krökning. Med användning av tensorkalkyl är beviset enkelt. Hermann Weyl beskrev Beltramis originalbevis (gjort i det tvådimensionella Riemanniska fallet) som mycket mer komplicerat. I förhållande till ett projektivt platt diagram finns det funktioner ρ _i sådana att Christoffel-symbolerna tar formen

$\Gamma _{ij}^{k}=\rho _{i}\delta _{j}^{k}+\rho _{j}\delta _{i}^{k}.$

Direkt beräkning visar då att Riemann-kurvaturtensorn ges av

$R_{ijkl}=(\partial _{i}\rho _{j}-\partial _{j}\rho _{i})g_{kl}+g_{jl}(\partial _{i }\rho _{k}-\rho _{i}\rho _{k})-g_{il}(\partial _{j}\rho _{k}-\rho _{j}\rho _{ k}).$

Krökningssymmetrin R _ijkl + R _jikl = 0 innebär att ∂ _i ρ _j = ∂ _j ρ _i . Den andra krökningssymmetrin R _ijkl = R _klij , spårad över i och l , säger sedan att

$\partial _{j}\rho _{k}-\rho _{j} \rho _{k}=g_{jk}{\frac {g^{il}(\partial _{i}\rho _{l}-\rho _{i}\rho _{l})}{n }}$

där n är grenrörets dimension. Det är direkt att verifiera att den vänstra sidan är en (lokalt definierad) Codazzi-tensor , med endast den givna formen av Christoffel-symbolerna. Av Schurs lemma följer att g ^il (∂ _i ρ _l − ρ _i ρ _l ) är konstant. Genom att ersätta ovanstående identitet med Riemann-tensorn enligt ovan, följer det att diagramdomänen har konstant tvärsnittskrökning − 1 / n g ^il (∂ _i ρ _l − ρ _i ρ _l ) . Genom att mångfalden är sammankopplad innebär denna lokala beständighet global beständighet.

Beltramis sats kan formuleras på språket för geodetiska kartor : om den ges en geodetisk karta mellan pseudo-Riemannska grenrör, har en gren konstant krökning om och bara om den andra gör det.

Källor.

•    Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvature costante" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . Serie II. 2 (1): 232–255. doi : 10.1007/BF02419615 . JFM 01.0208.03 . S2CID 120773141 .
•     do Carmo, Manfredo P. (2016). Differentialgeometri för kurvor och ytor (Reviderad och uppdaterad andra upplagan av 1976 års originalutgåva). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . MR 3837152 . Zbl 1352.53002 .
•    Eisenhart, Luther Pfahler (1926). Riemannsk geometri . Återtryckt 1997. Princeton: Princeton University Press . doi : 10.1515/9781400884216 . ISBN 0-691-02353-0 . JFM 52.0721.01 .
•     Schouten, JA (1954). Ricci-kalkyl. En introduktion till tensoranalys och dess geometriska tillämpningar . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 10 (andra upplagan av 1923 års originalupplaga). Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-12927-2 . ISBN 978-3-540-01805-6 . MR 0066025 . Zbl 0057.37803 .
•     Struik, Dirk J. (1961). Föreläsningar om klassisk differentialgeometri . Omtryckt 1988. (Andra upplagan av 1950 års originalupplaga). London: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8 . MR 0939369 . Zbl 0105.14707 .
•   Weyl, H. (1921). "Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und der konformen Auffassung" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 99–112. JFM 48.0844.04 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Beltramis teorem" . MathWorld .