Geodetisk karta
Inom matematiken - specifikt i differentialgeometri - är en geodetisk karta (eller geodetisk kartläggning eller geodetisk diffeomorfism ) en funktion som "bevarar geodetik ". Närmare bestämt, givet två ( pseudo- ) Riemannska grenrör ( M , g ) och ( N , h ), sägs en funktion φ : M → N vara en geodetisk karta om
- φ är en diffeomorfism av M på N ; och
- bilden under φ av någon geodetisk båge i M är en geodetisk båge i N ; och
- bilden under den inversa funktionen φ −1 av någon geodetisk båge i N är en geodetisk båge i M .
Exempel
- Om ( M , g ) och ( N , h ) båda är det n - dimensionella euklidiska utrymmet E n med dess vanliga platta metriska , så är vilken euklidisk isometri som helst en geodetisk karta över E n på sig själv .
- , om ( M , g ) och ( N , h ) båda är den n -dimensionella enhetssfären Sn med dess vanliga runda metrik, så är varje isometri av sfären en geodetisk karta av Sn på sig själv .
- Om ( M , g ) är enhetssfären S n med dess vanliga runda metrik och ( N , h ) är +1 sfären med radie 2 med dess vanliga runda metriska, båda tänkta som delmängder av det omgivande koordinatutrymmet Rn , sedan inducerar "expansions"-kartan φ : Rn +1 ) → Rn +1 . som ges av φ ( x = 2 x en geodetisk karta av M på N
- Det finns ingen geodetisk karta från det euklidiska utrymmet E n på enhetssfären S n , eftersom de inte är homeomorfa , än mindre diffeomorfa.
- Den gnomoniska projektionen av halvklotet till planet är en geodetisk karta eftersom den tar storcirklar till linjer och dess invers tar linjer till storcirklar.
- Låt ( D , g ) vara enhetsskivan D ⊂ R 2 utrustad med den euklidiska metriken, och låt ( D , h ) vara samma skiva utrustad med en hyperbolisk metrik som i Poincaré-skivans modell av hyperbolisk geometri. Sedan, även om de två strukturerna är diffeomorfa via identitetskartan i : D → D , är i inte en geodetisk karta, eftersom g -geodesik alltid är raka linjer i R 2 , medan h -geodesik kan krökas.
- Å andra sidan, när den hyperboliska metriken på D ges av Klein-modellen , är identiteten i : D → D en geodetisk karta, eftersom hyperboliska geodesiker i Klein-modellen är (euklidiska) raka linjesegment.
- Ambartzumian, RV (1982). Kombinatorisk integralgeometri . Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Tracts on Probability and Statistics. New York: John Wiley & Sons Inc. s. xvii+221. ISBN 0-471-27977-3 . MR 0679133 .
- Kreyszig, Erwin (1991). Differentialgeometri . New York: Dover Publications Inc. s. xiv+352. ISBN 0-486-66721-9 . MR 1118149 .
externa länkar
Kategorier: