Belavkins ekvation

I kvantsannolikhet är Belavkin -ekvationen , även känd som Belavkin-Schrödinger-ekvationen , kvantfiltreringsekvationen , stokastisk masterekvation , en stokastisk kvant-differentialekvation som beskriver dynamiken i ett kvantsystem som genomgår observation i kontinuerlig tid. Det härleddes och studerades hädanefter av Viacheslav Belavkin 1988.

Översikt

Till skillnad från Schrödinger-ekvationen , som beskriver den deterministiska utvecklingen av vågfunktionen $\psi (t)$ i ett slutet system (utan interaktion), beskriver Belavkin-ekvationen den stokastiska utvecklingen av en slumpmässig vågfunktion $\psi (t,\omega )$ av ett öppet kvantsystem som interagerar med en observatör:

$d\psi =-\left({\frac {1}{2}}L^{\ast } L+{\frac {i}{\hbar }}H\right)\psi dt+L\psi dy$

Här är $L$ en självadjoint operator (eller en kolumnvektor av operatorer) för systemet kopplat till det externa fältet, $H$ är Hamiltonian, $i= {\sqrt {-1}}$ är den imaginära enheten, $\hbar$ är Planck-konstanten, och $y(t)=\int _ {0}^{t}dy(r)$ är en stokastisk process som representerar mätbruset som är en martingal med oberoende inkrement med avseende på ingångssannolikhetsmåttet $P(0,d\omega )=\|\psi (0,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )$ . Observera att detta brus har beroende inkrement med avseende på utmatningssannolikhetsmåttet $P(t,d\omega )=\| \psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )$ representerar outputinnovationsprocessen (observationen). För $L=0$ blir ekvationen Schrödingers standardekvation .

Den stokastiska processen $y(t)$ kan vara en blandning av två grundläggande typer: Poisson- (eller jump ) typen $y(t)\ simeq n(t)-t$ , där $n(t)$ är en Poisson-process som motsvarar räkningsobservation, och den brownska (eller diffusions ) typen ${\ displaystyle y(t)\simeq w(t)}$ , där $w(t)$ är standard Wiener-processen som motsvarar kontinuerlig observation. Ekvationerna för diffusionstypen kan härledas som den centrala gränsen för hopptypens ekvationer med den förväntade hastigheten för hoppen som ökar till oändlighet.

Den slumpmässiga vågfunktionen $\psi (t,\omega )$ är endast normaliserad i medelkvadratbemärkelsen ${\displaystyle \int \|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )=\|\psi _{0}\|=1} , men i$ allmänhet $\psi (t,\omega )$ kan inte normaliseras för varje $\omega$ . Normaliseringen av $\psi (t,\omega )$ för varje $\omega$ ger den slumpmässiga bakre tillståndsvektorn ${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|} , vars utveckling beskrivs$ av den bakre Belavkin-ekvationen, som är olinjär, eftersom operatorerna $L$ och $H$ beror på $\varphi$ på grund av normalisering. Den stokastiska processen $y(t)$ i den bakre ekvationen har oberoende inkrement med avseende på utmatningssannolikhetsmåttet ${\displaystyle P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )} , men inte med avseende på inmatningsmåttet$ . Belavkin härledde också linjär ekvation för onormaliserad densitetsoperator $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\ psi ^{\ast }(t,\omega )$ och motsvarande olinjära ekvation för den normaliserade slumpmässiga bakre densitetsoperatorn $\rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$ . För två typer av mätbrus ger detta åtta grundläggande kvantstokastiska differentialekvationer. De allmänna formerna av ekvationerna inkluderar alla typer av brus och deras representationer i Fock-rymden .

Den olinjära ekvationen som beskriver observation av positionen för en fri partikel, vilket är ett specialfall av den bakre Belavkin-ekvationen av diffusionstypen, erhölls också av Diosi och förekom i verk av Gisin, Ghirardi, Pearle och Rimini, även om den hade en ganska olika motivation eller tolkning. Liknande olinjära ekvationer för posterior densitetsoperatorer postulerades (men utan härledning) i kvantoptik och kvantbanateorin, där de kallas stokastiska masterekvationer . Genomsnittet av ekvationerna för de slumpmässiga densitetsoperatorerna $\rho (t,\omega )$ över alla slumpmässiga banor $\omega$ leder till Lindbladsekvationen , som är deterministisk.

De olinjära Belavkin-ekvationerna för posteriora tillstånd spelar samma roll som Stratonovich- Kushner-ekvationen i klassisk sannolikhet, medan de linjära ekvationerna motsvarar Zakai-ekvationen . Belavkins ekvationer beskriver kontinuerlig tidsdekoherens av initialt rent tillstånd $\rho (0)=\psi _{0}\psi _{0}^{\ast }$ till en blandad posterior tillstånd $\rho (t)=\int \varphi (t,\omega )\varphi ^{ \ast }(t,\omega )P(t,d\omega )$ ger en rigorös beskrivning av dynamiken i vågfunktionskollapsen på grund av en observation eller mätning.

Icke-rivningsmätning och kvantfiltrering

Icke-kommutativitet utgör en stor utmaning för probabilistisk tolkning av kvant stokastiska differentialekvationer på grund av att det inte finns några villkorade förväntningar på allmänna par av kvantobserverbara värden. Belavkin löste detta problem genom att upptäcka fel-perturbationsosäkerhetsrelationen och formulera icke-demoleringsprincipen för kvantmätning. I synnerhet om den stokastiska processen $dy(t)$ motsvarar felet $e(t)dt=dw$ (vitt brus i diffusiven fall) av en brusig observation $Y(t)=X(t)+e(t)$ för operator $X(t)=\lambda [L(t)+L^{\ast }(t)]$ med noggrannhetskoefficienten $\lambda >0$ , då stör den indirekta observationen systemets dynamik av en stokastisk kraft $f(t)$ , kallad Langevin-kraften , som är ett annat vitt brus av intensitet $(\hbar \lambda )^{2}$ som inte pendlar med felet $e(t)$ . Resultatet av en sådan störning är att utmatningsprocessen $Y(t)$ är kommutativ $[Y(s),Y(t) ]=0$ , och därför motsvarar $\int _{0}^{t}Y(r)dr$ en klassisk observation, medan systemoperatorerna $X$ uppfylla villkoret för icke-rivning: alla framtida observerbara objekt måste pendla med tidigare observationer (men inte med framtida observationer): [ $\displaystyle [X(s),Y(t) ]=0}$ för alla $s\geq t$ (men inte ${\displaystyle s<t} )$ . Observera att kommutering av $X(s)$ med $Y(t)$ och en annan operator $Z(s)$ med ${ \displaystyle Y(t)}$ innebär inte kommutering av $X(s)$ med $Z(s)$ , ​​så att algebra för framtida observerbara objekt fortfarande är icke-kommutativ . Villkoret för icke-rivning är nödvändigt och tillräckligt för att det ska finnas villkorliga förväntningar $\mathbb {E} \{X(s)\mid Y(t)\}$ , vilket gör kvantfiltreringen möjlig.

Posteriora tillståndsekvationer

Räkna observation

Låt $n(t)$ vara en Poisson-process med steg framåt $dn(t)=0$ nästan överallt och $dn (t)=1$ annars och med egenskapen $(dn)^{2}=dn$ . Det förväntade antalet händelser är ${\displaystyle \mathbb {E} \{n(t)\}=\nu t} ,$ där $\nu$ är den förväntade hastigheten av hopp. Ersätter sedan den stokastiska processen med $m(t)={\frac {n(t)-\nu t}{\sqrt {\nu }}}$$y(t)$ ger den linjära Belavkin-ekvationen för den onormaliserade slumpmässiga vågfunktionen $\psi (t,\omega )$ som genomgår räkneobservation. Ersätter $L={\sqrt {\nu }}(CI)$ , där $C$ är kollapsoperatorn och ${\displaystyle H=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(CC^{\ast })} ,$ där $E$ är energioperatorn, kan denna ekvation skrivas i följande form

$d\psi =-\left({\frac {\nu }{ 2}}(C^{\ast}CI)+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\psi dt+(CI)\psi dn$

Normaliserad vågfunktion $\varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi ( t,\omega )\|$ kallas den bakre tillståndsvektorn , vars utveckling beskrivs av följande olinjära ekvation

$d\varphi =-\left ({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast}C-\|C\varphi \|^{2})+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\ varphi dt+\left({\frac {C}{\|C\varphi \|}}-I\right)\varphi d{\tilde {n}}$

där ${\tilde {n}}(t)$ har förväntan $\mathbb {E} \{{\ tilde {n}}(t)\}=\nu \|C\varphi \|^{2}t$ . Den bakre ekvationen kan skrivas i standardformen

$d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{ \tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}} \varphi d{\tilde {m}}$

med ${\tilde {L}}={\sqrt {\nu }}(C-\|C\varphi \|)$ , ${\tilde {H}}=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(CC^{\ast })\ |C\varphi \|$ , och ${\tilde {m}}(t)={\frac {{\tilde {n}}(t)-\nu \|C\varphi \|^{2}t}{{\sqrt {\nu }}\|C\varphi \|}}$ . Motsvarande ekvationer för den onormaliserade slumpmässiga densitetsoperatorn $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\ psi ^{\ast }(t,\omega )$ och för den normaliserade slumpmässiga bakre densitetsoperatorn $\rho (t,\ omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$ är följande

${\begin{aligned}d\varrho &=-[G\varrho +\varrho G^{\ast }-\nu \varrho ]dt+[C\varrho C^{\ast }-\varrho ]dn\\d\rho &=-[G\rho +\rho G^{\ast }-\nu \rho \ mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}]dt+\left({\frac {C\rho C^{\ast }}{\mathrm {Tr} \left\{ C\rho C^{\ast }\right\}}}-\rho \right)d{\tilde {n}}\end{aligned}}$

där $G={\frac {\nu }{2}}C^{\ast}C+{\frac {i}{\hbar }}E$ . Observera att den senare ekvationen är olinjär.

Kontinuerlig observation

Stokastisk process $m(t)$ , definierad i föregående avsnitt, har steg framåt $(dm)^{2} =\nu ^{-1/2}dm+dt$ , som tenderar att $dt$ som $\nu \to \infty$ . Därför $m(t)$ standard Wiener-process med avseende på inmatningssannolikhetsmåttet. Genom att ersätta $w(t)$ för $y(t)$ ger den linjära Belavkin-ekvationen för den onormaliserade slumpmässiga vågfunktionen $\psi (t, \omega )$ genomgår kontinuerlig observation. Utgångsprocessen ${\tilde {m}}(t)$ blir diffusionsinnovationsprocessen ${\tilde {w}}(t)$ med steg $d{\tilde {w}}(t, \omega )=dw(t,\omega )-2\mathrm {Re} \langle \varphi (t,\omega )\mid L\varphi (t,\omega )\rangle dt$ . Den olinjära Belavkin-ekvationen för diffusionstypen för den bakre tillståndsvektorn $\varphi (t,\omega )=\psi ( t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|$ är

$d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{ \tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}} \varphi d{\tilde {w}}$

med ${\tilde {L}}=L-\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle$ och ${\tilde {H}}=H+i\hbar {\frac {1}{2}}(LL^{\ast })\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle$ . Motsvarande ekvationer för den onormaliserade slumpmässiga densitetsoperatorn $\varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\ psi ^{\ast }(t,\omega )$ och för den normaliserade slumpmässiga bakre densitetsoperatorn $\rho (t,\ omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )$ är följande

${\begin{aligned}d\varrho &=-[K\varrho +\varrho K^{\ ast }-L\varrho L^{\ast }]dt+[L\varrho +\varrho L^{\ast }]dw\\d\rho &=-[K\rho +\rho K^{\ast } -L\rho L^{\ast }]dt+[L\rho +\rho L^{\ast}-\rho \mathrm {Tr} \left\{(L+L^{\ast })\rho \ höger\}]d{\tilde {w}}\end{aligned}}$

där $K={\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H$ . Den andra ekvationen är olinjär på grund av normalisering. Eftersom ${\displaystyle \mathbb {E} \{dw(t)\}=0} ,$ leder medelvärdet av dessa stokastiska ekvationer över alla $\omega$ till Lindblad ekvation

${\frac {d\rho }{dt}}=-[K\rho +\rho K^{\ast }] +L\rho L^{\ast }$

Exempel: kontinuerlig observation av positionen för en fri partikel

Betrakta en fri partikel med massan $m$ . De positionerna och momentumet motsvarar operatorerna ${\hat {x}}$ för multiplikation med $x$ och ${\hat {p}}=(\hbar /i)d/dx$ . Göra följande substitutioner i Belavkins ekvation

$L={\hat {x}},\qquad H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$

den bakre stokastiska ekvationen blir

$d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}+{ \frac {i}{\hbar }}{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\right)\varphi dt+{\Bigl (}{\hat {x}}-\ langle {\hat {x}}\rangle {\Bigr )}\varphi [dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt]$

där $\langle {\hat {x}}\rangle (t)=\mathrm {Tr} \left\{{\hat { x}}\rho (t)\right\}$ är den bakre förväntan av ${\hat {x}}$ . Motiverad av teorin om spontan kollaps snarare än filtreringsteorin, erhölls denna ekvation också av Diosi, vilket visar att mätbruset $dy-2\langle {\hat {x}} \rangle dt$ är inkrementet $d\xi$ för en standard Wiener-process . Det finns lösningar i sluten form till denna ekvation, såväl som ekvationer för en partikel i en linjär eller kvadratisk potential. För ett Gaussiskt initialtillstånd $\psi _{0}$ motsvarar dessa lösningar optimalt linjärt kvantfilter. Lösningar på Belavkins ekvation visar att i gränsen $t\to \infty$ har vågfunktionen ändlig spridning, vilket löser kvantzenoneffekten .