Kushners ekvation

I filtreringsteori är Kushner -ekvationen (efter Harold Kushner ) en ekvation för den villkorade sannolikhetstätheten för tillståndet i ett stokastiskt icke-linjärt dynamiskt system , givet bullriga mätningar av tillståndet. Den tillhandahåller därför lösningen på det olinjära filtreringsproblemet i skattningsteorin . Ekvationen kallas ibland för Stratonovich–Kushner (eller Kushner–Stratonovich) ekvation . Den korrekta ekvationen i termer av Itō-kalkyl härleddes dock först av Kushner även om en mer heuristisk Stratonovich-version av den dök upp redan i Stratonovichs verk i slutet av femtiotalet. Men härledningen i termer av Itō-kalkyl beror på Richard Bucy. ^{[ förtydligande behövs ]}

Översikt

Antag att systemets tillstånd utvecklas enligt

dx=f(x,t)\,dt+\sigma dw

och en bullrig mätning av systemtillståndet är tillgänglig:

dz=h(x,t)\,dt+\eta dv

där w , v är oberoende Wiener-processer . Sedan ges den villkorade sannolikhetstätheten p ( x , t ) för tillståndet vid tidpunkten t av Kushner-ekvationen:

dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t)[h(x,t)-E_{t}h(x,t)]^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}[dz-E_{t}h(x,t)dt].

där $Lp=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum (\sigma \sigma ^{\top })_{i,j}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$ är Kolmogorov Forward-operatorn och $dp(x,t)=p(x,t+dt)-p(x,t)$ är variationen av den betingade sannolikheten.

Termen $dz-E_{t}h(x,t)dt$ är innovationen dvs skillnaden mellan mätningen och dess förväntade värde.

Kalman–Bucy filter

Man kan helt enkelt använda Kushner-ekvationen för att härleda Kalman-Bucy-filtret för en linjär diffusionsprocess. Anta att vi har $f(x,t)=Ax$ och $h(x,t)=Cx$ . Kushner-ekvationen kommer att ges av

dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t)[Cx-C\mu (t)]^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}[dz-C\mu (t)dt],

där $\mu (t)$ är medelvärdet av den villkorade sannolikheten vid tidpunkten $t$ . Genom att multiplicera med $x$ och integrera över det får vi variationen av medelvärdet