Bakåt Euler-metoden

Inom numerisk analys och vetenskaplig beräkning är den bakåtriktade Eulermetoden (eller implicit Eulermetoden ) en av de mest grundläggande numeriska metoderna för att lösa vanliga differentialekvationer . Den liknar (standard) Euler-metoden , men skiljer sig genom att den är en implicit metod . Den bakåtriktade Euler-metoden har fel i ordning en i tid.

Beskrivning

Betrakta den vanliga differentialekvationen

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$

med initialt värde ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.} Här$ är funktionen $f$ och initialdata $t_{0}$ och $y_{0}$ känd; funktionen $y$ beror på den verkliga variabeln $\displaystyle t}$ och är okänd. En numerisk metod ger en sekvens $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$ så att $y_{k}$ approximerar $y(t_{0}+kh)$ , där $h$ kallas stegstorleken.

Den bakåtriktade Euler-metoden beräknar approximationerna med hjälp av

$y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).$

Detta skiljer sig från Euler-metoden (framåt) genom att den framåtriktade metoden använder $f(t_{k},y_{k})$ istället för $f(t_{k+1},y_{k+1})$ .

Den bakåtriktade Eulermetoden är en implicit metod: den nya approximationen $y_{k+1}$ visas på båda sidor av ekvationen, och därför behöver metoden lösa en algebraisk ekvation för den okända $y_{k+1}$ . För icke- styva problem kan detta göras med fixpunkts iteration :

$y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1 },y_{k+1}^{[i]}).$

Om denna sekvens konvergerar (inom en given tolerans), så tar metoden sin gräns som den nya approximationen $y_{k+1}$ .

Alternativt kan man använda (viss modifiering av) Newton–Raphson-metoden för att lösa den algebraiska ekvationen.

Härledning

Integrering av differentialekvationen ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$ från ${ \displaystyle t_{n}}$ till $t_{n+1}=t_{n}+h$ ger

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\, \mathrm {d} t.$

Uppskatta nu integralen till höger med den högra rektangelmetoden (med en rektangel):

$y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).$

Använd slutligen att $y_{n}$ är tänkt att approximera $y(t_{n})$ och formeln för den bakåtriktade Eulermetoden följer.

Samma resonemang leder till (standard) Euler-metoden om den vänstra rektangelregeln används istället för den högra.

Analys

Det rosa området utanför skivan visar stabilitetsområdet för den bakåtriktade Euler-metoden.

Det lokala trunkeringsfelet (definierat som felet som gjordes i ett steg) i den bakåtriktade Euler-metoden är ${\displaystyle O(h^{2})} ,$ med hjälp av big O-notationen . Felet vid en specifik tidpunkt $t$ är $O(h^{2})$ . Det betyder att den här metoden har order ett . I allmänhet sägs en metod med $O(h^{k+1})$ LTE (lokalt trunkeringsfel) vara av k: te ordningen.

Området för absolut stabilitet för den bakåtriktade Euler-metoden är komplementet i skivans komplexa plan med radie 1 centrerad på 1, avbildad i figuren. Detta inkluderar hela vänstra halvan av det komplexa planet, vilket gör det lämpligt för lösning av stela ekvationer . Faktum är att den bakåtriktade Euler-metoden är till och med L-stabil .

Området för ett diskret stabilt system med Backward Euler Method är en cirkel med radie 0,5 som är belägen vid (0,5, 0) i z-planet.

Tillägg och modifieringar

Den bakåtriktade Euler-metoden är en variant av (framåt) Euler-metoden . Andra varianter är den semi-implicita Euler-metoden och den exponentiella Euler-metoden .

Den bakåtriktade Euler-metoden kan ses som en Runge–Kutta-metod med ett steg, beskriven av Butcher-tablået:

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

Metoden kan också ses som en linjär flerstegsmetod med ett steg. Det är den första metoden i familjen Adams-Moulton-metoder , och även i familjen av bakåtdifferentieringsformler .

Se även

• Crank–Nicolson-metoden

Anteckningar

•   Butcher, John C. (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3 .