Leapfrog integration

I numerisk analys är leapfrog integration en metod för att numeriskt integrera differentialekvationer av formen

$${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A(x) ,$$

eller motsvarande form

$${\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}=A(x), \;{\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,$$

särskilt i fallet med ett dynamiskt system av klassisk mekanik .

Metoden är känd under olika namn inom olika discipliner. Speciellt liknar den hastigheten Verlet- metoden, som är en variant av Verlet-integration . Leapfrog-integrering motsvarar uppdatering av positioner $x(t)$ och hastigheter $v(t)={\dot {x}}(t)$ vid olika interfolierade tidpunkter, förskjutna på ett sådant sätt att de " springer " över varandra.

Leapfrog-integration är en andra ordningens metod, till skillnad från Euler-integration , som bara är första ordningens, men ändå kräver samma antal funktionsutvärderingar per steg. Till skillnad från Euler-integration är den stabil för oscillerande rörelse, så länge som tidssteget $\Delta t$ är konstant, och $\Delta t\leq 2/\omega$ .

Genom att använda Yoshida-koefficienter, applicera leapfrog-integratorn flera gånger med rätt tidssteg, kan en integrator av mycket högre ordning genereras.

Algoritm

I leapfrog-integration är ekvationerna för att uppdatera position och hastighet

${\ börja{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\ \x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}$

där $x_{i}$ är position i steg $i$ , $v_{i+1/2\,}$ är hastigheten eller första derivatan av $x$ , vid steg $i+1/2\,$ a $i}=A(x_{i})}$ är accelerationen, eller andraderivatan av $x$ , i steg $i$ , och $\Delta t$ är storleken på varje tidssteg. Dessa ekvationer kan uttryckas i en form som också ger hastighet i heltalssteg:

${\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\ Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\ Delta t.\end{aligned}}$

I denna synkroniserade form måste emellertid tidssteget $\Delta t$ vara konstant för att bibehålla stabilitet.

Den synkroniserade formen kan omarrangeras till "kick-drift-kick"-formen;

${\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+a_{i}{\frac {\Delta t}{2}},\\x_{i+ 1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{\frac { \Delta t}{2}},\end{aligned}}$

som i första hand används där variabla tidssteg krävs. Separationen av accelerationsberäkningen till början och slutet av ett steg innebär att om tidsupplösningen ökas med en faktor två ( ${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2} )$ , då krävs bara en extra (beräkningsmässigt dyr) accelerationsberäkning.

En användning av denna ekvation är i gravitationssimuleringar, eftersom accelerationen i så fall endast beror på de graviterande massornas positioner (och inte på deras hastigheter), även om högre ordningens integratorer (som Runge–Kutta-metoder) används oftare .

Det finns två primära styrkor med språngintegrering när den tillämpas på mekanikproblem. Den första är tidsreversibiliteten för Leapfrog-metoden. Man kan integrera n steg framåt, och sedan vända integrationens riktning och integrera n steg bakåt för att komma till samma startposition. Den andra styrkan är dess symplektiska natur, som ibland tillåter bevarande av en (något modifierad) energi i ett dynamiskt system ( endast sant för vissa enkla system ). Detta är särskilt användbart vid beräkning av orbitaldynamik, eftersom många andra integrationsscheman, såsom (order-4) Runge–Kutta -metoden, inte sparar energi och tillåter systemet att driva avsevärt över tiden.

På grund av dess tidsreversibilitet, och eftersom det är en symplektisk integrator , används leapfrog-integration också i Hamiltonian Monte Carlo , en metod för att dra slumpmässiga urval från en sannolikhetsfördelning vars totala normalisering är okänd.

Yoshida algoritmer

Leapfrog-integratorn kan konverteras till högre ordnings-integratörer med hjälp av tekniker tack vare Haruo Yoshida. I detta tillvägagångssätt tillämpas språnget över ett antal olika tidssteg. Det visar sig att när de korrekta tidsstegen används i sekvens, upphäver felen och integratörer av mycket högre ordning kan enkelt produceras.

4:e ordningens Yoshida-integrator

Ett steg under den fjärde ordningens Yoshida-integrator kräver fyra mellansteg. Positionen och hastigheten beräknas vid olika tidpunkter. Endast tre (beräkningsmässigt dyra) accelerationsberäkningar krävs.

Ekvationerna för 4:e ordningens integrator för att uppdatera position och hastighet är

${\begin{aligned}x_{i}^{ 1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,\\v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a( x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1} \,\Delta t,\\v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t, \\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,\\v_{i}^{3 }&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i} ^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,\\v_{i+1}&\equiv v_{i}^ {4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}$

där $x_{i},v_{i}$ är startpositionen och hastigheten, $x_{i}^{n},v_{i}^ {n}$ är mellanliggande position och hastighet vid mellansteg $n$ , $a(x_{i}^{n})$ är accelerationen vid positionen ${ \displaystyle x_{i}^{n}}$ , och $x_{i+1},v_{i+1}$ är den slutliga positionen och hastigheten under en 4:e ordningens Yoshida steg.

Koefficienter $(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})$ och $(d_{1},d_{2},d_{3})$ härleds i (se ekvationen (4.6))

${\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2} }}},\\w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\c_{1}&=c_{4}\ ekv. {\frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\d_{1 }&=d_{3}\equiv w_{1},d_{2}\equiv w_{0}\\\end{aligned}}$

Alla mellanliggande steg bildar ett $\Delta t$ steg vilket innebär att koefficienter summerar till ett: ${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{ i}=1}$ och ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$ . Observera att position och hastighet beräknas vid olika tidpunkter och vissa mellanliggande steg är bakåt i tiden. För att illustrera detta ger vi de numeriska värdena för $c_{n}$ koefficienter: ${\displaystyle c_{1}=0,6756} ,$ c $\displaystyle c_{2}= -0,1756}$ , $c_{3}=-0,1756$ , $c_{4}=0,6756.$

Se även

• Numeriska metoder för vanliga differentialekvationer
• Symplektisk integration
• Euler integration
• Verlet integration
• Runge–Kutta integration

externa länkar

• [1] , Drexel University Physics