Trunkeringsfel (numerisk integration)

Trunkeringsfel i numerisk integration är av två slag:

lokala trunkeringsfel – felet som orsakas av en iteration, och
globala trunkeringsfel – det kumulativa felet som orsakas av många iterationer.

Definitioner

Antag att vi har en kontinuerlig differentialekvation

y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}

och vi vill beräkna en approximation $y_{n}$ av den sanna lösningen $y(t_{n})$ vid diskreta tidssteg $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}$ . För enkelhetens skull, anta att tidsstegen är lika fördelade:

h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.

Anta att vi beräknar sekvensen $y_{n}$ med en enstegsmetod av formen

y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).

Funktionen $A$ kallas inkrementfunktionen , och kan tolkas som en uppskattning av lutningen ${\frac {y(t_{n })-y(t_{n-1})}{h}}$ .

Lokalt trunkeringsfel

Det lokala trunkeringsfelet $\tau _{n}$ är felet som vår inkrementfunktion, ${\displaystyle A} ,$ orsakar under en enstaka iteration, förutsatt perfekt kunskap om den sanna lösningen vid föregående iteration.

Mer formellt beräknas det lokala trunkeringsfelet, ${\displaystyle \tau _{n}},$ i steg $n$ från skillnaden mellan vänster och höger sida av ekvationen för inkrementet $y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1}, y_{n-1},h,f)$ :

\tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f ).

Den numeriska metoden är konsekvent om det lokala trunkeringsfelet är $o(h)$ (detta betyder att det för varje $\varepsilon >0$ finns en $H$ så att $|\tau _{n}|<\varepsilon h$ för alla $h<H$ ; se little-o notation ). Om inkrementfunktionen $A$ är kontinuerlig, är metoden konsekvent om, och endast om, $A(t,y,0 ,f)=f(t,y)$ .

Vidare säger vi att den numeriska metoden har ordningen $p$ om det lokala trunkeringsfelet är $O(h^{p+) för någon tillräckligt smidig lösning av det initiala värdeproblemet 1})$ (vilket betyder att det finns konstanter $C$ och $H$ så att $|\tau _{n}|<Ch^{ p+1}$ för alla ${\displaystyle h<H} )$ .

Globalt trunkeringsfel

Det globala trunkeringsfelet är ackumuleringen av det lokala trunkeringsfelet över alla iterationer, förutsatt perfekt kunskap om den sanna lösningen vid det initiala tidssteget. ^{[ citat behövs ]}

Mer formellt definieras det globala trunkeringsfelet, $e_{n}$ , vid tiden $t_{n}$ av:

{\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA (t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1 },h,f){\Big )}.\end{aligned}}

Den numeriska metoden är konvergent om det globala trunkeringsfelet går till noll när stegstorleken går till noll; med andra ord, den numeriska lösningen konvergerar till den exakta lösningen: $\lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0$ .

Samband mellan lokala och globala trunkeringsfel

Ibland är det möjligt att beräkna en övre gräns för det globala trunkeringsfelet, om vi redan känner till det lokala trunkeringsfelet. Detta kräver att vår inkrementfunktion är tillräckligt väluppfostrad.

Det globala trunkeringsfelet uppfyller upprepningsrelationen:

e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{ n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.

Detta följer omedelbart av definitionerna. Antag nu att inkrementfunktionen är Lipschitz kontinuerlig i det andra argumentet, det vill säga att det finns en konstant $L$ så att för alla $t$ och $y_{1}$ och $y_{2}$ , vi har:

|A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.

Då uppfyller det globala felet gränsen

|e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_ {0})}-1\höger).

Det följer av ovanstående gräns för det globala felet att om funktionen $f$ i differentialekvationen är kontinuerlig i det första argumentet och Lipschitz kontinuerlig i det andra argumentet (villkoret från Picard –Lindelöfs sats ) , och inkrementfunktion $A$ är kontinuerlig i alla argument och Lipschitz kontinuerlig i det andra argumentet, då tenderar det globala felet till noll när stegstorleken $h$ närmar sig noll (med andra ord, den numeriska metoden konvergerar till den exakta lösningen).

Utvidgning till linjära flerstegsmetoder

Överväg nu en linjär flerstegsmetod , given av formeln

{\begin{aligned}&y_{n+s}+ a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h {\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1 })+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}

Således beräknas nästa värde för den numeriska lösningen enligt

y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_ {k}f(t_{n+k},y_{n+k}).

Nästa iteration av en linjär flerstegsmetod beror på de föregående iteraten . Således, i definitionen för det lokala trunkeringsfelet, antas det nu att de föregående s iteraten alla motsvarar den exakta lösningen:

\tau _{n}=y(t_{n+s})+\summa _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\ summa _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).

Återigen är metoden konsekvent om $\tau _{n}=o(h)$ och den har ordningen p om $\tau _{n}=O(h^{p+1})$ . Definitionen av det globala trunkeringsfelet är också oförändrad.

Relationen mellan lokala och globala trunkeringsfel skiljer sig något från i den enklare inställningen av enstegsmetoder. För linjära flerstegsmetoder behövs ett ytterligare koncept som kallas nollstabilitet för att förklara sambandet mellan lokala och globala trunkeringsfel. Linjära flerstegsmetoder som uppfyller villkoret nollstabilitet har samma relation mellan lokala och globala fel som enstegsmetoder. Med andra ord, om en linjär flerstegsmetod är nollstabil och konsekvent, då konvergerar den. Och om en linjär flerstegsmetod är nollstabil och har lokalt fel ${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})},$ då dess globala fel uppfyller $e_{n}=O(h^{p})$ .

Se även

Anteckningar

Iserles, Arieh (1996), En första kurs i numerisk analys av differentialekvationer, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2 .
Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis , Cambridge University Press , ISBN 0521007941 .

externa länkar