Automorfism grupp av en fri grupp
I matematisk gruppteori är automorfismgruppen i en fri grupp en diskret grupp av automorfismer av en fri grupp . Kvoten av de inre automorfismerna är den yttre automorfismgruppen i en fri grupp, som på något sätt liknar kartläggningsklassgruppen för en yta .
Presentation
Jakob Nielsen ( 1924 ) visade att de automorfismer som definieras av de elementära Nielsen-transformationerna genererar den fullständiga automorfismgruppen av en ändligt genererad fri grupp. Nielsen och senare Bernhard Neumann använde dessa idéer för att ge finita presentationer av automorfismgrupperna i fria grupper. Detta beskrivs också i ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , s. 131, Th 3.2).
Automorfismgruppen för den fria gruppen med ordnad bas [ x 1 , …, x n ] genereras av följande 4 elementära Nielsen-transformationer :
- Switch x 1 och x 2
- Cykliskt permutera x 1 , x 2 , …, x n , till x 2 , …, x n , x 1 .
- Byt ut x 1 med x 1 −1
- Byt ut x 1 med x 1 · x 2
Dessa transformationer är analogerna till de elementära radoperationerna . Transformationer av de två första slagen är analoga med radbyten och cykliska radpermutationer. Transformationer av det tredje slaget motsvarar att skala en rad med en inverterbar skalär. Transformationer av det fjärde slaget motsvarar radtillägg.
Transformationer av de två första typerna räcker för att permutera generatorerna i valfri ordning, så den tredje typen kan appliceras på vilken som helst av generatorerna och den fjärde typen på vilket par av generatorer som helst.
Nielsen gav en ganska komplicerad finit presentation med hjälp av dessa generatorer, beskriven i ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , s. 165, avsnitt 3.5).
Se även
- Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004), Combinatorial Group Theory , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43830-6 , MR 0207802
- Nielsen, Jakob (1921), "Om räkning med icke-kommutativa faktorer och dens användning i gruppteorien", Math. Tidsskrift B (på danska), 1921 : 78–94, JFM 48.0123.03
- Nielsen, Jakob (1924), "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen." , Mathematische Annalen (på tyska), 91 : 169–209, doi : 10.1007/BF01556078 , JFM 50.0078.04 [ permanent död länk ]
- Vogtmann, Karen (2002), "Automorphisms of free groups and outer space" (PDF) , Proceedings of the Conference on Geometric and Combinatorial Group Theory, del I (Haifa, 2000), Geometriae Dedicata , 94 : 1–31, doi : 10.1023/A:1020973910646 , ISSN 0046-5755 , MR 1950871