Arkimedeisk spiral

Tre 360° öglor av en arm av en arkimedeisk spiral

Den arkimedeiska spiralen (även känd som den aritmetiska spiralen ) är en spiral uppkallad efter den grekiska matematikern Arkimedes från 300-talet f.Kr. Det är den plats som motsvarar positionerna över tiden för en punkt som rör sig bort från en fast punkt med konstant hastighet längs en linje som roterar med konstant vinkelhastighet . På motsvarande sätt kan det i polära koordinater ( r , θ ) beskrivas med ekvationen

$$r=a+b\cdot \theta$$

med reella tal a och b . Genom att ändra parametern a flyttas spiralens mittpunkt utåt från origo (positivt a mot θ = 0 och negativt a mot θ = π ) huvudsakligen genom en rotation av spiralen, medan b styr avståndet mellan slingorna.

Från ovanstående ekvation kan det således konstateras: positionen för partikeln från startpunkten är proportionell mot vinkeln θ när tiden går.

Arkimedes beskrev en sådan spiral i sin bok On Spirals . Conon från Samos var en vän till honom och Pappus säger att denna spiral upptäcktes av Conon.

Härledning av spiralens allmänna ekvation

Se även: Cirkulär rörelse

Ett fysiskt tillvägagångssätt används nedan för att förstå begreppet arkimedeiska spiraler.

Antag att ett punktobjekt rör sig i det kartesiska systemet med en konstant hastighet v riktad parallellt med x -axeln, med avseende på xy -planet. Låt vid tidpunkten t = 0 , objektet var vid en godtycklig punkt ( c , 0, 0) . Om xy- planet roterar med en konstant vinkelhastighet ω kring z -axeln, kan punktens hastighet med avseende på z -axeln skrivas som:

Xy - planet roterar till en vinkel ωt (moturs) kring origo i tiden t . ( c , 0) är objektets position vid t = 0 . P är objektets position vid tidpunkten t , på ett avstånd av R = vt + c .

$${\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_ {x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t \end{aligned}}$$

Här är vt + c modulen för partikelns positionsvektor vid varje tidpunkt t , v _x är hastighetskomponenten längs x -axeln och v _y är komponenten längs y -axeln. Bilden bredvid förklarar detta.

$${\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{ Justerat}}$$

Ovanstående ekvationer kan integreras genom att tillämpa integration av delar , vilket leder till följande parametriska ekvationer:

$${\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=( vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}$$

Att kvadrera de två ekvationerna och sedan lägga till (och några små ändringar) resulterar i den kartesiska ekvationen

$${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \ arctan {\frac {y}{x}}+c$$

(med hjälp av det faktum att ωt = θ och θ = arktan y / x ) eller

$$\tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\ höger)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}$$

Dess polära form är

$$r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.$$

Bågens längd och krökning

Oskulerande cirklar av den arkimedeiska spiralen, som tangerar spiralen och har samma krökning vid tangentpunkten. Själva spiralen är inte ritad utan kan ses som de punkter där cirklarna ligger särskilt nära varandra.

Givet parametriseringen i kartesiska koordinater

$$f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\ ,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )$$

båglängden från $\theta _{1}$ till $\displaystyle \theta _{2}}$ { är

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+ \theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}$$

eller på motsvarande sätt:

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatörsnamn {arsinh} \theta \right]_{\theta _ {1}}^{\theta _{2}}.$$

Den totala längden från $\theta _{1}=0$ till $\theta _{2}=\theta$ är därför

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\ theta ^{2}}}\right)\right].$$

Krökningen ges av

$$\kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b(\theta ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}}$$

Egenskaper

Arkimedeisk spiral representerad på en polär graf

Den arkimedeiska spiralen har egenskapen att vilken stråle som helst från ursprunget skär på varandra följande svängningar av spiralen i punkter med ett konstant separationsavstånd (lika med 2 πb om θ mäts i radianer ), därav namnet "arithmetisk spiral". I motsats till detta bildar dessa avstånd i en logaritmisk spiral , liksom avstånden för skärningspunkterna mätt från origo, en geometrisk progression .

Den arkimedeiska spiralen har två armar, en för θ > 0 och en för θ < 0 . De två armarna är smidigt förbundna vid utgången. Endast en arm visas på den medföljande grafen. Att ta en spegelbild av denna arm över y -axeln kommer att ge den andra armen.

För stora θ rör sig en punkt med väl approximerad likformig acceleration längs den arkimedeiska spiralen medan spiralen motsvarar positionerna över tiden för en punkt som rör sig bort från en fast punkt med konstant hastighet längs en linje som roterar med konstant vinkelhastighet (se bidrag från Mikhail Gaichenkov).

När den arkimedeiska spiralen växer, närmar sig dess utveckling asymptotiskt en cirkel med radie | v | / ω .

Allmän arkimedisk spiral

används termen arkimedeisk spiral för den mer allmänna gruppen av spiraler

$$r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.$$

Den normala arkimedeiska spiralen uppstår när c = 1 . Andra spiraler som faller inom denna grupp inkluderar den hyperboliska spiralen ( c = −1 ), Fermats spiral ( c = 2 ) och lituus ( c = −2 ).

Ansökningar

En metod för att kvadrera cirkeln , på grund av Arkimedes, använder sig av en arkimedeisk spiral. Arkimedes visade också hur spiralen kan användas för att treskära en vinkel . Båda tillvägagångssätten lättar på de traditionella begränsningarna för användningen av rätsida och kompass i antika grekiska geometriska bevis.

Mekanism för en scrollkompressor

Den arkimedeiska spiralen har en mängd olika tillämpningar i den verkliga världen. Scrollkompressorer , som används för att komprimera gaser, har rotorer som kan tillverkas av två sammanflätade arkimedeiska spiraler, involuter av en cirkel av samma storlek som nästan liknar arkimedeiska spiraler, eller hybridkurvor.

Arkimedeiska spiraler kan hittas i spiralantenner , som kan användas över ett brett spektrum av frekvenser.

Spolarna i klockbalansfjädrar och spåren på mycket tidiga grammofonskivor bildar arkimedeiska spiraler, vilket gör att spåren är jämnt fördelade (även om variabelt spåravstånd senare introducerades för att maximera mängden musik som kunde klippas på en skiva) .

Att be en patient att rita en arkimedisk spiral är ett sätt att kvantifiera mänsklig tremor ; denna information hjälper till att diagnostisera neurologiska sjukdomar.

Arkimedeiska spiraler används också i projektionssystem för digital ljusbearbetning (DLP) för att minimera " regnbågseffekten ", vilket får det att se ut som om flera färger visas samtidigt, när rött, grönt och blått i verkligheten cyklas extremt snabbt . Dessutom används arkimedeiska spiraler inom livsmedelsmikrobiologi för att kvantifiera bakteriekoncentrationen genom en spiralplatta.

Atacama Large Millimeter Array- bild av LL Pegasi

De används också för att modellera mönstret som uppstår i en pappersrulle eller tejp med konstant tjocklek lindad runt en cylinder.

Många dynamiska spiraler (som Parker-spiralen av solvinden eller mönstret gjorda av en Catherines hjul ) är arkimediska. Till exempel visar stjärnan LL Pegasi en ungefärlig arkimedeisk spiral i dammmolnen som omger den, som tros vara utstött materia från stjärnan som har förts in i en spiral av en annan medföljande stjärna som en del av ett dubbelstjärnesystem.

Se även

• Arkimedes skruv
• Euler spiral
• Fermats spiral
• Gyllene spiral
• Hyperbolisk spiral
• Lista över spiraler
• Logaritmisk spiral
• Theodorus spiral
• Trippel spiral symbol

externa länkar

• Jonathan Matt gör den arkimedeiska spiralen intressant - Video: The surprising beauty of Mathematics - TedX Talks , Green Farms
• Weisstein, Eric W. "Archimedes' spiral" . MathWorld .
• arkimedisk spiral på PlanetMath .
• Sida med Java-applikation för att interaktivt utforska den arkimedeiska spiralen och dess relaterade kurvor
• Utforskning online med JSXGraph (JavaScript)
• Arkimedeisk spiral vid "mathcurve"