Appleton–Hartree ekvation

Appleton -Hartree-ekvationen , ibland även kallad Appleton-Lassen-ekvationen, är ett matematiskt uttryck som beskriver brytningsindexet för elektromagnetisk vågutbredning i en kallmagnetiserad plasma . Appleton-Hartree-ekvationen utvecklades oberoende av flera olika forskare, inklusive Edward Victor Appleton , Douglas Hartree och den tyske radiofysikern HK Lassen. Lassens arbete, avslutat två år före Appleton och fem år före Hartree, inkluderade en mer grundlig behandling av kollisionsplasma; men, publicerad endast på tyska, har den inte lästs så mycket i radiofysikens engelsktalande värld. Vidare, angående härledningen av Appleton, noterades det i den historiska studien av Gilmore att Wilhelm Altar (medan han arbetade med Appleton) först beräknade spridningsförhållandet 1926.

Ekvation

Dispersionsrelationen kan skrivas som ett uttryck för frekvensen (kvadrat), men det är också vanligt att skriva det som ett uttryck för brytningsindex :

$n^{2}=\left({\frac {ck}{\omega }}\right)^{2}.$

Den fullständiga ekvationen ges vanligtvis enligt följande:

$n^{2}=1-{\frac {X}{1-iZ-{\frac {{\frac {1}{2}}Y^ {2}\sin ^{2}\theta }{1-X-iZ}}\pm {\frac {1}{1-X-iZ}}\left({\frac {1}{4}}Y ^{4}\sin ^{4}\theta +Y^{2}\cos ^{2}\theta \left(1-X-iZ\right)^{2}\right)^{1/2} }}$

eller, alternativt, med dämpningsterm $Z=0$ och omarrangerande termer:

${\displaystyle n^{2}=1-{\frac {X\left(1-X\right)}{1-X-{{\frac {1}{2}}Y$

Definition av villkor:

$n$ : komplext brytningsindex

$i={\sqrt {-1}}$ : imaginär enhet

$X={\frac {\omega _{ 0}^{2}}{\omega ^{2}}}$

$Y={\frac {\omega _{H}}{\omega }}$

${\ displaystyle Z={\frac {\nu }{\omega }}}$

$\nu$ : elektronkollisionsfrekvens

$\omega =2\pi f$ : vinkelfrekvens

$f$ : vanlig frekvens (cykler per sekund, eller Hertz )

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\sqrt {\frac {Ne ^{2}}{\epsilon _{0}m}}}$ : elektronplasmafrekvens

${\displaystyle \omega _{H}=2\pi f_{H}={\frac {B_{0}|e|}{m}}} : elektrongyrofrekvens ϵ {\displaystyle$ \ epsilon

${0} }$ : permittivitet för ledigt utrymme

$B_{0}$ : omgivande magnetfältstyrka :

$e$ : elektronladdning

$m$ : elektronmassa

$\theta$ vinkel mellan omgivningen magnetfältsvektorn och vågvektorn

Utbredningssätt

Närvaron av tecknet $\pm$ i Appleton–Hartree-ekvationen ger två separata lösningar för brytningsindex. För utbredning vinkelrätt mot magnetfältet, dvs. $\mathbf {k} \perp \mathbf {B} _{0}$ , representerar '+'-tecknet "vanligt läge" och '− '-tecknet representerar det "extraordinära läget." För utbredning parallellt med magnetfältet, dvs $\mathbf {k} \parallel \mathbf {B} _{0}$ , representerar '+'-tecknet ett vänsterriktat cirkulärt polariserat läge, och '−'-tecken representerar ett högerriktat cirkulärt polariserat läge. Se artikeln om elektromagnetiska elektronvågor för mer information.

$\mathbf {k}$ är vektorn för utbredningsplanet.

Reducerade former

Förökning i ett kollisionsfritt plasma

Om elektronkollisionsfrekvensen $\nu$ är försumbar jämfört med vågfrekvensen av intresse $\omega$ , kan plasmat sägas vara "kollisionsfritt". Det vill säga givet tillståndet

$\nu \ll \omega$ ,

vi har

$Z={\frac {\nu }{\omega }}\ll 1$ ,

så vi kan försumma $Z$ -termerna i ekvationen. Appleton–Hartree-ekvationen för ett kallt, kollisionsfritt plasma är därför,

$n^{2}=1-{\frac {X}{1-{\frac {{\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }{1 -X}}\pm {\frac {1}{1-X}}\left({\frac {1}{4}}Y^{4}\sin ^{4}\theta +Y^{2} \cos ^{2}\theta \left(1-X\right)^{2}\right)^{1/2}}}$

Kvasi-longitudinell utbredning i ett kollisionsfritt plasma

Om vi ​​vidare antar att vågutbredningen primärt är i magnetfältets riktning, dvs $\theta \approx 0$ , kan vi försumma $Y^{4} \sin ^{4}\theta$ term ovan. Sålunda, för kvasi-longitudinell utbredning i en kall, kollisionsfri plasma, blir Appleton-Hartree-ekvationen,

$n^{2}=1-{\frac {X}{1-{\frac {{\ frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }{1-X}}\pm Y\cos \theta }}$

Se även

• Mary Taylor Slow
• Plasma (fysik)
• Vågor i plasma
• Lista över plasma (fysik) artiklar

Citat och anteckningar