Alexander Varchenko

Alexander Varchenko
Född	( 1949-02-06 ) 6 februari 1949 Ryssland
Alma mater	Moscow State University (1971)
Känd för	Varchenkos sats
Vetenskaplig karriär
Fält	Matematik
institutioner	University of North Carolina
Doktorand rådgivare	Vladimir Arnold

Alexander Nikolaevich Varchenko ( ryska : Александр Николаевич Варченко , född 6 februari 1949) är en sovjetisk och rysk matematiker som arbetar inom geometri , topologi , kombinatorik och matematisk fysik .

Utbildning och karriär

Från 1964 till 1966 studerade Varchenko vid Moskvas Kolmogorov internatskola nr 18 för begåvade gymnasieelever, där Andrey Kolmogorov och Ya. A. Smorodinsky föreläste matematik och fysik. Varchenko tog examen från Moscow State University 1971. Han var elev till Vladimir Arnold . Varchenko försvarade sin doktorsexamen. avhandling Theorems on Topological Equisingularity of Families of Algebraic Sets and Maps 1974 och Doctor of Science avhandling Asymptotics of Integrals and Algebro-Geometric Invariants of Critical Points of Functions 1982. Från 1974 till 1984 var han forskare vid Moscow State University 1985–1990 professor vid Gubkin Institute of Gas and Oil , och sedan 1991 har han varit Ernest Eliel-professor vid University of North Carolina i Chapel Hill .

Forskning

År 1969 identifierade Varchenko monodromigruppen för en kritisk punkt av typ $A_{n}$ av en funktion av ett udda antal variabler med den symmetriska gruppen $S_{n+1}$ som är Weyl-gruppen för den enkla Lie-algebra av typ $A_{n}$ .

1971 bevisade Varchenko att en familj av komplexa kvasiprojektiva algebraiska uppsättningar med en irreducerbar bas bildar en topologiskt lokalt trivial bunt över en Zariski öppen delmängd av basen. Detta uttalande, förmodat av Oscar Zariski , hade fyllt upp en lucka i beviset för Zariskis sats om den grundläggande gruppen av komplementet till en komplex algebraisk hyperyta publicerad 1937. 1973 bevisade Varchenko René Thoms gissning att en grodd till en generisk slät karta är topologiskt ekvivalent med en grodd av en polynomkarta och har en ändlig dimensionell polynom topologisk versal deformation, medan de icke-generiska kartorna bildar en delmängd av oändlig kodimension i utrymmet för alla bakterier.

Varchenko var bland skaparna av teorin om Newton-polygoner i singularitetsteorin, i synnerhet gav han en formel som relaterade Newton-polygoner och asymptotik för de oscillerande integraler som är associerade med en kritisk punkt i en funktion. Med hjälp av formeln konstruerade Varchenko ett motexempel till VI Arnolds semikontinuitetsförmodan att ljusstyrkan hos ljus vid en punkt på en kaustik inte är mindre än ljusstyrkan vid de angränsande punkterna.

Varchenko formulerade en gissning om semikontinuiteten i spektrumet för en kritisk punkt under deformationer av den kritiska punkten och bevisade det för deformationer med låg vikt av kvasihomogena singulariteter. Med hjälp av semikontinuiteten gav Varchenko en uppskattning ovanifrån för antalet singulära punkter för en projektiv hyperyta av given grad och dimension.

Varchenko introducerade den asymptotiska blandade Hodge-strukturen på kohomologin, försvinnande vid en kritisk punkt av en funktion, genom att studera asymptotik av integraler av holomorfa differentialformer över familjer av försvinnande cykler. En sådan integral beror på parametern – värdet på funktionen. Integralen har två egenskaper: hur snabbt den tenderar till noll, när parametern tenderar till det kritiska värdet, och hur integralen ändras, när parametern går runt det kritiska värdet. Den första egenskapen användes för att definiera Hodge-filtreringen av den asymptotiska blandade Hodge-strukturen och den andra egenskapen användes för att definiera viktfiltreringen.

Den andra delen av det 16:e Hilbert-problemet är att avgöra om det finns en övre gräns för antalet gränscykler i polynomvektorfält av given grad. Det infinitesimala 16:e Hilbert-problemet, formulerat av VI Arnold, är att avgöra om det finns en övre gräns för antalet nollor i en integral av en polynomdifferentialform över en familj av nivåkurvor för ett polynom Hamiltonian i termer av graderna av koefficienter för differentialformen och graden av Hamiltonian. Varchenko bevisade existensen av det bundna i det infinitesimala 16:e Hilbertproblemet.

Vadim Schechtman och Varchenko identifierade i Knizhnik-Zamolodchikov-ekvationerna (eller KZ-ekvationer) med en lämplig Gauss-Manin-koppling och konstruerade multidimensionella hypergeometriska lösningar av KZ-ekvationerna. I den konstruktionen märktes lösningarna av element från en lämplig homologigrupp. Sedan identifierades homologigruppen med ett mångfaldsutrymme av tensorprodukten av representationer av en lämplig kvantgrupp och monodromi-representationen av KZ-ekvationerna identifierades med den associerade R-matrisrepresentationen. Denna konstruktion gav ett geometriskt bevis för Kohno-Drinfelds sats om monodromin av KZ-ekvationerna. En liknande bild utvecklades för kvant-KZ-ekvationerna (eller qKZ-typsdifferensekvationer) i gemensamma arbeten med Giovanni Felder och Vitaly Tarasov. Viktfunktionerna som dyker upp i multidimensionella hypergeometriska lösningar identifierades senare med stabila kuvert i Andrei Okounkovs ekvivarianta uppräkningsgeometri.

Under andra hälften av 90-talet utvecklade Felder, Pavel Etingof och Varchenko teorin om dynamiska kvantgrupper. Dynamiska ekvationer, kompatibla med ekvationerna av KZ-typ, introducerades i gemensamma artiklar med G. Felder, Y. Markov, V. Tarasov. I applikationer uppträder de dynamiska ekvationerna som kvantdifferentialekvationerna för de kotangenta buntarna av partiella flaggvarianter.

Boris Shapiros och Michael Shapiros gissningar i verklig algebraisk geometri : om Wronski-determinanten för ett komplext änddimensionellt vektorrum av polynom i en variabel endast har reella rötter, så har vektorrummet en bas av polynom med reella koefficienter.

Det är klassiskt känt att skärningsindexet för Schubert-varieteterna i Grassmannian av N -dimensionella plan sammanfaller med dimensionen av rymden av invarianter i en lämplig tensorprodukt av representationer av den allmänna linjära gruppen $\operatornamn {GL } _{N}$ . I, Mukhin, Tarasov och Varchenko kategoriserade detta faktum och visade att Bethe-algebra av Gaudin-modellen på ett sådant utrymme av invarianter är isomorf till algebra av funktioner i skärningspunkten mellan motsvarande Schubert-varianter. Som en applikation visade de att om Schubert-varianterna definieras med avseende på distinkta verkliga oskulerande flaggor, så korsar varianterna tvärs och alla skärningspunkter är verkliga. Denna egenskap kallas verkligheten av Schubert kalkyl .

Erkännande

Varchenko var en inbjuden talare vid International Congress of Mathematicians 1974 i Vancouver (sektion av algebraisk geometri) och 1990 i Kyoto (ett plenartal). År 1973 mottog han Moscow Mathematical Society Award.

Han utsågs till 2023 års klass Fellows of the American Mathematical Society , "för bidrag till singularitetsteorin, verklig algebraisk geometri och teorin om kvantintegrerbara system".

Böcker

•   Arnolʹd, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Singulariteter av differentierbara kartor. Vol. I. Klassificering av kritiska punkter, kaustik och vågfronter. Monographs in Mathematics, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. xi+382 s. ISBN 0-8176-3187-9
•   Arnolʹd, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Singulariteter av differentierbara kartor. Vol. II. Monodromi och asymptotik av integraler. Monographs in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. viii+492 s. ISBN 0-8176-3185-2
•   Etingof, P.; Varchenko, A. Why the Boundary of a Round Drop Becomes a Curve of Order Four (University Lecture Series), AMS 1992, ISBN 0821870025
•   Varchenko, A. Multidimensionella hypergeometriska funktioner och representationsteori för Lie-algebror och kvantgrupper. Advanced Series in Mathematical Physics, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1995. x+371 s. ISBN 981-02-1880-X
•   Varchenko, A. Specialfunktioner, ekvationer av KZ-typ och representationsteori. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 98. Publicerad för Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; av American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. viii+118 s. ISBN 0-8218-2867-3

externa länkar

• Alexander Varchenko vid Mathematics Genealogy Project
• Varchenkos hemsida på University of North Carolinas webbplats