Alcuins sekvens

Inom matematik är Alcuins sekvens , uppkallad efter Alcuin of York , sekvensen av koefficienter för kraftseriens expansion av:

${\frac {x^{3}}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=x^{3}+ x^{5}+x^{6}+2x^{7}+x^{8}+3x^{9}+\cdots .$

Sekvensen börjar med dessa heltal:

0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21 (sekvens A005044 i OEIS )

Den n: e termen är antalet trianglar med heltalssidor och omkrets n . Det är också antalet trianglar med distinkta heltalssidor och omkrets n + 6, dvs antalet tripplar ( a , b , c ) så att 1 ≤ a < b < c < a + b , a + b + c = n + 6.

Om man tar bort de tre inledande nollorna så är det antalet sätt som n tomma fat, n fat halvfulla med vin och n hela fat kan fördelas till tre personer på ett sådant sätt att var och en får samma antal fat och samma mängd vin. Detta är generaliseringen av problem 12 som förekommer i Propositiones ad Acuendos Juvenes ("Problem to Sharpen the Young") som vanligtvis tillskrivs Alcuin. Det problemet ges som,

Problem 12: En viss far dog och lämnade som arv till sina tre söner 30 glasflaskor, varav 10 var fulla med olja, ytterligare 10 var halvfulla, medan ytterligare 10 var tomma. Dela oljan och kolvarna så att lika stor andel av varorna ska komma till de tre sönerna, både av olja och glas.

Termen "Alcuins sekvens" kan spåras tillbaka till D. Olivastros bok från 1993 om matematiska spel, Ancient Puzzle: Classical Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last 10 Centuries (Bantam, New York).

Sekvensen med de tre inledande nollorna raderade erhålls som sekvensen av koefficienter för effektseriens expansion av

${\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+x^{2}+x^ {3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots .$

Denna sekvens har också kallats Alcuins sekvens av vissa författare.