Affin involution

Involutioner som är linjära eller affina transformationer över det euklidiska rummet Rn är ^av speciellt intresse i euklidisk geometri . Sådana involutioner är lätta att karakterisera och de kan beskrivas geometriskt.

Linjära involutioner

Att ge en linjär involution är detsamma som att ge en ofrivillig matris , en kvadratisk matris A sådan att

$A^{2}=I\quad \quad \quad \quad (1)$

där I är identitetsmatrisen .

Det är en snabb kontroll att en kvadratisk matris D vars element alla är noll från huvuddiagonalen och ±1 på diagonalen, det vill säga en signaturmatris av formen

$D={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\\0&0dots\&c vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}$

uppfyller (1), dvs är matrisen för en linjär involution. Det visar sig att alla matriser som uppfyller (1) är av formen

A = U ⁻¹ DU ,

där U är inverterbar och D är som ovan. Det vill säga, matrisen för varje linjär involution är av formen D upp till en matrislikhet . Geometriskt betyder detta att vilken linjär involution som helst kan erhållas genom att ta sneda reflektioner mot valfritt tal från 0 till n hyperplan som går genom origo. (Termen snedreflektion som används här inkluderar vanliga reflektioner.)

Man kan enkelt verifiera att A representerar en linjär involution om och bara om A har formen

A = ±(2P - I)

för en linjär projektion P .

Affina involutioner

Om A representerar en linjär involution, så är x → A ( x − b )+ b en affin involution. Man kan kontrollera att varje affin involution faktiskt har denna form. Geometriskt betyder detta att vilken affin involution som helst kan erhållas genom att ta sneda reflektioner mot valfritt tal från 0 till n hyperplan som går genom en punkt b .

Affina involutioner kan kategoriseras efter dimensionen av det affina rummet av fixpunkter ; detta motsvarar antalet värden 1 på diagonalen för den liknande matrisen D (se ovan), dvs dimensionen av egenutrymmet för egenvärde 1.

De affina involutionerna i 3D är:

• identiteten
• den sneda reflektionen i förhållande till ett plan
• den sneda reflektionen i förhållande till en linje
• reflektionen i förhållande till en punkt.

Isometriska involutioner

I det fall att egenutrymmet för egenvärde 1 är det ortogonala komplementet till det för egenvärde −1, dvs varje egenvektor med egenvärde 1 är ortogonal mot varje egenvektor med egenvärde −1, är en sådan affin involution en isometri . De två extremfallen som detta alltid gäller är identitetsfunktionen och inversion i en punkt .

De andra involutiva isometrierna är inversion i en linje (i 2D, 3D och uppåt; detta är i 2D en reflektion och i 3D en rotation runt linjen med 180°), inversion i ett plan (i 3D och uppåt; i 3D detta är en reflektion i ett plan), inversion i ett 3D-rum (i 3D: identiteten), etc.