Abstrakt analytisk talteori

Abstrakt analytisk talteori är en gren av matematiken som tar idéerna och teknikerna från klassisk analytisk talteori och tillämpar dem på en mängd olika matematiska områden. Den klassiska primtalssatsen fungerar som ett prototypiskt exempel, och tonvikten ligger på abstrakta asymptotiska distributionsresultat . Teorin uppfanns och utvecklades av matematiker som John Knopfmacher och Arne Beurling på 1900-talet.

Aritmetiska semigrupper

Den grundläggande uppfattningen som är involverad är den om en aritmetisk halvgrupp , som är en kommutativ monoid G som uppfyller följande egenskaper:

  • Det finns en räknebar delmängd (ändlig eller räkningsbar oändlig) P av G , så att varje element a ≠ 1 i G har en unik faktorisering av formen
i är distinkta element av P är α i positiva heltal , r kan bero på a , och två faktoriseringar anses vara lika om de skiljer sig endast efter ordningen av faktorerna som anges. Elementen i P kallas primtal för G .
  • Det finns en verkligt värderad normmappning G så att
    1. Det totala antalet av element av norm är ändlig, för varje reell .

Additiv nummersystem

Ett additivt talsystem är en aritmetisk halvgrupp där den underliggande monoiden G är fri abelisk . Normfunktionen kan skrivas additivt.

Om normen är heltalsvärd associerar vi räknefunktionerna a ( n ) och p ( n ) med G där p räknar antalet element i P av norm n , och a räknar antalet element i G i norm n . Vi låter A ( x ) och P ( x ) vara motsvarande formella potensserier . Vi har den grundläggande identiteten

som formellt kodar för det unika uttrycket av varje element i G som en produkt av element i P . Konvergensradien för G är konvergensradien för potensserien A ( x ) .

Den grundläggande identiteten har den alternativa formen

Exempel

  • Det prototypiska exemplet på en aritmetisk halvgrupp är den multiplikativa halvgruppen av positiva heltal G = Z + = {1, 2, 3, ...}, med delmängd av rationella primtal P = {2, 3, 5, ...}. Här är normen för ett heltal helt enkelt , så att , det största heltal inte överstiger x .
  • Olika aritmetiska kategorier som uppfyller ett teorem av Krull-Schmidt-typ kan övervägas. I alla dessa fall är elementen i G isomorfismklasser i en lämplig kategori , och P består av alla isomorfismklasser av oupplösliga objekt, dvs objekt som inte kan brytas ned som en direkt produkt av objekt som inte är noll. Några typiska exempel är följande.
    • Kategorin för alla finita abelska grupper under den vanliga direkta produktdriften och normkartläggningen De oupplösliga objekten är de cykliska grupperna med primtalsordning.
    • Kategorin av alla kompakta enkelt anslutna globalt symmetriska riemannska grenrör under den riemannska produkten av grenrör och normkartering där c > 1 är fixerat, och dim M betecknar mångfaldsdimensionen för M . De oupplösliga föremålen är de kompakta enkelt sammankopplade oreducerbara symmetriska utrymmena.
    • Kategorin för alla pseudometriserbara finita topologiska utrymmen under den topologiska summan och normmappningen De oupplösliga objekten är de sammankopplade utrymmena .

Metoder och tekniker

Användningen av aritmetiska funktioner och zetafunktioner är omfattande. Tanken är att utvidga de olika argumenten och teknikerna för aritmetiska funktioner och zetafunktioner i klassisk analytisk talteori till sammanhanget av en godtycklig aritmetisk halvgrupp som kan uppfylla ett eller flera ytterligare axiom. Ett sådant typiskt axiom är följande, vanligtvis kallat "Axiom A" i litteraturen:

  • Axiom A. Det finns positiva konstanter A och , och en konstant med , så att

För varje aritmetisk halvgrupp som uppfyller Axiom A har vi följande abstrakta primtalssats :

där π G ( x ) = totalt antal element p i P av norm | p | ≤ x .

Aritmetisk bildning

Begreppet aritmetisk bildning ger en generalisering av den ideala klassgruppen i algebraisk talteori och möjliggör abstrakta asymptotiska distributionsresultat under begränsningar. När det gäller till exempel talfält är detta Chebotarevs densitetssats . En aritmetisk formation är en aritmetisk halvgrupp G med en ekvivalensrelation ≡ så att kvoten G /≡ är en finit abelsk grupp A . Denna kvot är klassgrupp och ekvivalensklasserna är generaliserade aritmetiska progressioner eller generaliserade idealklasser. Om χ är ett tecken i A kan vi definiera en Dirichlet-serie

som ger ett begrepp om zeta-funktion för aritmetisk halvgrupp.

Se även

  •    Burris, Stanley N. (2001). Talteoretisk densitet och logiska gränslagar . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 86. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-2666-2 . Zbl 0995.11001 .
  •    Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstrakt analytisk talteori (2:a upplagan). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2 . Zbl 0743.11002 .
  •    Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplikativ talteori I. Klassisk teori . Cambridge studier i avancerad matematik. Vol. 97. sid. 278. ISBN 978-0-521-84903-6 . Zbl 1142.11001 .