ATS-sats

Inom matematik är ATS-satsen satsen om en t- rigonometrisk summa . med ett kortare Tillämpningen av ATS-teoremet i vissa problem inom matematisk och teoretisk fysik kan vara till stor hjälp.

Problemets historia

Inom vissa områden av matematik och matematisk fysik , summor av formen

$S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)$

är under studie.

Här är $\varphi (x)$ och $f(x)$ verkligt värderade funktioner för ett reellt argument, och $i^{2 }=-1.$ Sådana summor förekommer till exempel i talteorin i analysen av Riemann zeta-funktionen , i lösningen av problem kopplade till heltalspunkter i domänerna på plan och i rymden, i studiet av Fourierserien , och i lösningen av sådana differentialekvationer som vågekvationen , potentialekvationen, värmekonduktivitetsekvationen .

Problemet med approximation av serien (1) genom en lämplig funktion studerades redan av Euler och Poisson .

Vi ska definiera längden på summan $S$ till talet $ba$ (för heltalen $a$ och $b,$ är detta antalet sammanställningarna i $S$ ).

Under vissa förhållanden på $\varphi (x)$ och ${\displaystyle f(x)} kan$ summan $S$ ersättas med god noggrannhet med en annan summa $S_{1},$

$S_{1}=\summa _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k )e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)$

där längden $\beta -\alpha$ är mycket mindre än $ba.$

Formens första relationer

$S=S_{1}+R,\qquad (3)$

där $S,$$S_{1}$ är summorna (1) respektive (2), är $R$ en restterm, med konkreta funktioner ${ \displaystyle \varphi (x)}$ och $f(x),$ erhölls av GH Hardy och JE Littlewood , när de härledde en ungefärlig funktionekvation för Riemann zeta-funktionen $\zeta (s)$ och av IM Vinogradov , i studien av mängden heltalspunkter i domänerna på plan. Generellt sett bevisades satsen av J. Van der Corput (på de senaste resultaten i samband med Van der Corput-satsen kan man läsa på ).

införts för funktionerna $\varphi (x)$ och ${\displaystyle f(x)} .$ Med praktiska (för tillämpningar) begränsningar för $\varphi (x)$ och $f(x),$ bevisades satsen av AA Karatsuba i (se även,).

Vissa noteringar

[1]. För $B>0,B\to +\infty ,$ eller $B\to 0,$ posten

$1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1$

betyder att det finns konstanterna $C_{1}>0$

och $C_{2}>0,$

så att

$C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$

[2]. För ett reellt tal $\alpha ,$ betyder posten ${\displaystyle \|\alpha \|} att$

$\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$

där

$\{\alpha \}$

är bråkdelen av $\alpha .$

ATS-sats

Låt de reella funktionerna ƒ ( x ) och $\varphi (x)$ uppfylla följande villkor på segmentet [ a , b ] :

1) $f''''(x)$ och $\varphi ''(x)$ är kontinuerliga;

2) det finns nummer $H,$$U$ och $V$ så att

$H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<ba\leq V$

och

${\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x) \ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\ \\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2 }}}.\\\\\end{array}}$

Sedan, om vi definierar talen $x_{\mu }$ från ekvationen

$f'(x_{\mu })=\mu ,$

vi har

${_\displaystyle \summa {a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\summa _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C (\mu )Z(\mu)+R,}$

var

$R=O\left({\frac {HU}{ba}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\ höger)\right);$

$T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ är ett heltal}};\\\min \left({\frac { 1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\ slut{cases}}$

$j=a,b;$

$C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2 }},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ eller }}\mu =f'(b);\\\end{fall}}$

$Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\ mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .$

Den enklaste varianten av den formulerade satsen är påståendet, som i litteraturen kallas Van der Corput-lemmat .

Van der Corput lemma

Låt $f(x)$ vara en verklig differentierbar funktion i intervallet $a<x\leq b,$ dessutom, inom detta intervall, dess derivata $f'(x)$ är en monoton och teckenbevarande funktion, och för konstanten $\delta$ så att $0<\delta <1$ uppfyller ojämlikhet $|f'(x)|\leq \delta .$ Sedan

$\sum _{a<k \leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2 \delta }{1-\delta }}\right),$

där $|\theta |\leq 1.$

Anmärkning

Om parametrarna $a$ och $b$ är heltal, är det möjligt att ersätta den sista relationen med följande:

$\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a) }+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},$

där $|\theta |\leq 1.$

Om tillämpningarna av ATS på fysikens problem, se; se även,.